2020版高考理科数学（人教版）一轮复习讲义：第七章第六节数学归纳法

第六节数学归纳法1．数学归纳法的2个步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立(初始值n0不一定为1)；(2)归纳递推假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[注意]　证明当n＝k＋1时命题成立一定会用到归纳假设，即假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．2．数学归纳法的2个步骤的意义步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时结论是否正确作出判断；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)(2)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明．(　　)(3)证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立．(　　)(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×二、选填题1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1　　　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选C　三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.2．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)A．a1＋(k－1)d  B.C．ka1＋d  D．(k＋1)a1＋d解析：选C　假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：选D　由f(n)可知，f(n)中共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.4．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式的左边为________．答案：1＋＋5．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞成立，起始值应取为n＝________.解析：不等式的左边＝＝2－，当n＜8时，不等式不成立，故起始值应取n＝8.答案：8考点一用数学归纳法证明等式[师生共研过关] [典例精析]用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．[证明]　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．[解题技法]1．数学归纳法证明等式的2个思路(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．2．口诀记忆——记牢“4句话”[过关训练]设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，所以当n＝k＋1时结论仍然成立．由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．考点二用数学归纳法证明不等式[师生共研过关] [典例精析]已知函数f(x)＝x－x2，设0＜a1＜，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an＜.[证明]　(1)当n＝1时，0＜a1＜，显然结论成立．因为当x∈时，0＜f(x)≤，所以0＜a2＝f(a1)≤＜.故n＝2时，原不等式也成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0＜ak＜成立．因为f(x)＝x－x2的对称轴方程为x＝，所以当x∈时，f(x)为增函数．所以由0＜ak＜≤，得0＜f(ak)＜f.于是，0＜ak＋1＝f(ak)＜－·＋－＝－＜.所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N*，不等式an＜成立．[解题技法]用数学归纳法证明不等式应注意的2个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，用其他方法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时，要注意放缩的“度”．[过关训练]设整数p＞1，n∈N*.证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px.证明：(1)当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立．(2)假设p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k＞1＋kx成立．当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2＞1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合(1)(2)可得，当x＞－1，且x≠0时，对一切正整数p＞1，不等式(1＋x)p＞1＋px均成立．考点三归纳—猜想—证明[师生共研过关] [典例精析]已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．[解]　(1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1＞0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.∴a2＝－(a2＞0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式，整理得a＋2 ak＋1－2＝0，∴ak＋1＝－，即n＝k＋1时通项公式成立．由①②可知对所有n∈N*，an＝－都成立．[解题技法]归纳—猜想—证明的应用策略(1)一般思路：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．(2)基本步骤：“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段该部分与数列结合的问题是最常见的问题．[过关训练]已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立，②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－.那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.因为f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－＝－＝＜0，所以f(k＋1)＜g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．