2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第九章第六节双曲线

第六节双曲线

1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．
设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．
①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；
③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
[熟记常用结论]
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.
5．若P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
6．等轴双曲线
(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
7．共轭双曲线
(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．
(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
(3)双曲线方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)
(4)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、选填题
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
解析：选C　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，故实轴长为4.
2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. B.
C. D．(，0)
解析：选C　∵原方程可化为－＝1，
∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，
∴右焦点坐标为.
3．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是
________.
解析：因为方程－＝1表示双曲线，
所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
4．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：由已知可得a＝1，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝2.
答案：2
5．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．
解析：由题意得2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，
所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1



[题组练透]
1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1＜λ＜4)，
将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
3．过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．
解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.
答案：－＝1
5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
[名师微点]

求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[提醒]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题)

[典例精析]
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
[解析]　(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.
这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
则cos∠F1PF2
＝
＝＝.
(3)因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.
[答案]　(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　(3)9
[解题技法]
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
[过关训练]
1．(2019·唐山模拟)已知F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
解析：选A　不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝|m－n|＝4.又因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20，即m2＋n2＝20.又||PF1|－|PF2||2＝|m－n|2＝16，所以mn＝2.所以△F1PF2的面积为S＝mn＝1，故选A.
2．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(y＞2)
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A　如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．

[考法全析]
考法(一)　求双曲线的离心率(或范围)
[例1]　(1)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2)
C．(2,1＋) D．(1,1＋)
(2)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)
A．5 B.
C. D.
[解析]　(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，
设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，
又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.
[答案]　(1)B　(2)A
考法(二)　求双曲线的渐近线
[例2]　(2019·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
[解析]　由题意知，椭圆中a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率e＝ ＝，
∴双曲线的离心率为 ＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.
[答案]　A
考法(三)　求双曲线的方程
[例3]　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　由离心率为，可知a＝b，c＝a，
所以F(－a,0)，
由题意知kPF＝＝＝1，
所以a＝4，解得a＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
[答案]　B
[规律探求]
看个性
考法(一)：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
考法(二)：求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±＝±＝± ＝±；
考法(三)：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程
找共性
求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：


[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　∵e＝＝＝，
∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x.
2．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.
解析：选C　不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)， ＝(－x0，－y0)．
∵·＜0，
∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，
即x－3＋y＜0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.

一、题点全面练
1．(2019·襄阳联考)直线l：4x－5y＝20经过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选A　由题意知直线l与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c＝5，b＝4，∴a＝3，双曲线C的离心率e＝＝.
2．(2019·成都模拟)如图，已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝，则此双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　因为2c＝|AB|＝6，所以c＝3.因为＝|BC|＝，所以5a＝2b2.
又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋，解得a＝2或a＝－(舍去)，故该双曲线的离心率e＝＝，故选B.
3．(2018·武汉调研)已知点P在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，由题意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝ b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B.3
C．2 D．4
解析：选B　由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.
5．(2019·邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为(　　)
A．2＋ B.
C．2＋ D.
解析：选D　由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C的方程，可得x＝± ，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋，所以e＝ ，故选D.
6．(2018·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D　因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，所以a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
7．焦点是(0，±2)，且与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是__________．
解析：由题意可知，双曲线是焦点在y轴上的等轴双曲线，故所求双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
8．(2018·日照一模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝2，则双曲线的离心率e＝________.
解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±x.当x＝－1时，y＝±，即A，B或A，B.所以S△AOB＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝＝.
答案：
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.
∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，
∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案：2
10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为__________．
解析：∵双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，
∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9.∴双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．离心率相等 B.虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D　由0＜k＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．
2．(2019·南充模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B.(， )
C．(，2) D．(1，)∪(，＋∞)
解析：选D　设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，令x＝－c，可得y＝±，
可设A，B.
又设D(0，b)，可得＝，
＝，＝.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．当∠DAB为钝角时，可得·＜0，即为0－·＜0，化为a＞b，即有a2＞b2＝c2－a2.可得c2＜2a2，即e＝＜.又e＞1，可得1＜e＜；
当∠ADB为钝角时，可得·＜0，即为c2－＜0，化为c4－4a2c2＋2a4＞0，由e＝，
可得e4－4e2＋2＞0.又e＞1，可得e＞ .
综上可得，离心率的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
3．(2019·石家庄模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选A　由题意可知F1(－c,0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线F1B的倾斜角为30°，所以＝，化简整理得＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－2ac＝0，两边同时除以a2得3e2－2e－3＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，故选A.
4．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为__________．
解析：设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2.由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8.则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
答案：x2－＝1(x≤－1)
(二)交汇专练——融会巧迁移
5．[与向量交汇]过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若＝2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　由题意，F(c,0)．设P(0,3m)，由＝2，可得点M的坐标为，∵OM⊥PF，∴·＝－1，∴m2＝c2，∴M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋2＋＝c2，解得a2＝c2，∴e＝＝，故选B.
6．[与正弦定理交汇]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使＝(c是双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率e的取值范围为(　　)
A．(1,1＋) B.(1,1＋)
C．(1,1＋] D．(1,1＋]
解析：选A　由题意，知点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．在△PF1F2中，由正弦定理得＝，
又＝，∴＝，
即|PF1|＝·|PF2|.
由题意知点P在双曲线的右支上，故|PF1|－|PF2|＝2a，
∴·|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝.
由双曲线的几何性质，知|PF2|＞c－a，∴＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，∴e2－2e－1＜0，解得－＋1＜e＜＋1.
又e＞1，∴双曲线离心率的取值范围是(1，＋1)，故选A.
7．[与圆交汇]已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B.(2，＋∞)
C．(1，) D．(，＋∞)
解析：选A　如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立，得解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2＜c2，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得＜2，又双曲线的离心率e＝＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.
(三)难点专练——适情自主选
8．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意知解得＜k＜1.
所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.
(3)由(2)得xA＋xB＝，
所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)
＝k(xA＋xB)＋2＝.
所以AB的中点P的坐标为.
设直线l0的方程为y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
因为＜k＜1，所以－2＜1－3k2＜0.
所以m＜－2.
所以m的取值范围为(－∞，－2)．