2020版高考数学一轮复习课后限时集训13《导数的概念及运算》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(十三)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．已知函数f(x)＝x－，f′(x)是f(x)的导函数，则f′(1)－f(1)＝(    )

A．2            B．e      C．1      D．－e

B　[f′(x)＝1－，则f′(1)＝1，又f(1)＝1－e，

所以f′(1)－f(1)＝1－(1－e)＝e，故选B.]

2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为(    )

A．(1－e)x－y＋1＝0   B．(1－e)x－y－1＝0

C．(e－1)x－y＋1＝0   D．(e－1)x－y－1＝0

C　[由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，

故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0，故选C.]

3．曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则的值为(    )

A．－          B．－   C.   D.

D　[y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－＝－，∴＝.]

4．(2019·广州模拟)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(    )

A．e          B．－e   C.   D．－

C　[设切点坐标为(x0，y0)，由y′＝得y′|x＝x0＝，

由题意知＝，即y0＝1，∴ln x0＝1，

解得x0＝e，因此切线的斜率为，故选C.]

5．已知奇函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则曲线y＝f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是(    )

A．x＋y＋1＝0          B．x＋y－1＝0

C．3x－y－1＝0   D．3x－y＋1＝0

B　[当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x，

又f(－x)＝－f(x)，则－f(x)＝x2－x，即f(x)＝－x2＋x，

∴f′(x)＝－2x＋1，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝0.

因此所求切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，故选B.]

二、填空题

6．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．

3　[因为f(x)＝(2x＋1)ex，

所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，

所以f′(0)＝3e0＝3.]

7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

　[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]

8．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

0　[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.

又因为g(x)＝xf(x)，

所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x3＋.

(1)求函数f(x)在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求过点P(2,4)的函数f(x)的切线方程．

[解]　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4，

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，

则切线的斜率为y′＝x，

∴切线方程为y－＝x(x－x0)，

即y＝xx－x＋.

∵点P(2,4)在切线上，

∴4＝2x－x＋，

即x－3x＋4＝0，

∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.

10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

[解]　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，

所以斜率最小的切线过点，

斜率k＝－1，

所以切线方程为x＋y－＝0.

(2)由(1)得k≥－1，

所以tan α≥－1，所以α∈∪.

B组　能力提升

1．(2019·青岛模拟)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是(    )

A．y＝sin x           B．y＝ln x

C．y＝ex   D．y＝x3

A　[若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.

对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；

对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；

对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；

对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.

综上所述，选A.]

2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(    )

A．y＝x3－x2－x          B．y＝x3＋x2－3x

C．y＝x3－x   D．y＝x3＋x2－2x

A　[设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,0)处的切线，则y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排除选项B、D.又∵y＝3x－6是该函数在点(2,0)处的切线，则y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A选项的函数符合，故选A.]

3．(2019·武汉模拟)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

1　[f(x＋1)＝，故f(x)＝，即f(x)＝2－，对f(x)求导得f′(x)＝，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.]

4．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

[解]　根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，

所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为

y－f(1)＝3(x－1)，

所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为

y－g(1)＝3(x－1)，

所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，

所以，两条切线不是同一条直线．