2020版高考数学一轮复习课后限时集训31《数列求和》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(三十一)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(    )

A．200   B．－200

C．400   D．－400

B　[S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]

2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(    )

A．990           B．1 000

C．1 100   D．99

A　[n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.]

3．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(    )

A．120           B．99

C．11   D．121

A　[an＝

＝

＝－，

所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.

即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.]

4.＋＋＋…＋的值为(    )

A.   B.－

C.－   D.－＋

C　[因为＝＝＝－，

所以＋＋＋…＋

＝＝

＝－.]

5．Sn＝＋＋＋…＋等于(    )

A.   B.

C.   D.

B　[由Sn＝＋＋＋…＋，①

得Sn＝＋＋…＋＋，②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－

＝－，

所以Sn＝.]

二、填空题

6．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则 ＝________.

　[由得

∴Sn＝n×1＋×1＝，

＝＝2.

∴ ＝＋＋＋…＋

＝2

＝2＝.]

7．有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．

2n＋1－n－2　[an＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1，

则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]

8．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．

2n＋1－n－2　[因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①

2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②

所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.]

三、解答题

9．(2019·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，

所以an＝2an－1，

所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an＝2n－1，

所以bn＝(2n－1)×2n－1，

所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①

2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

由①－②得

－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n

＝1＋2×－(2n－1)×2n

＝(3－2n)×2n－3，

所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.

10．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.

[解]　(1)＝(32－1)＝3，

当n≥2时，＝－＋＋…＋＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，

当n＝1时，＝32n－1也成立，

所以an＝.

(2)bn＝log3＝－(2n－1)，

因为＝＝，所以＋＋…＋＝＝＝.

B组　能力提升

1．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值为(    )

A．18＋   B．20＋

C．22＋   D．18＋

B　[设an＝1＋＋＋…＋＝＝2.

则原式＝a1＋a2＋…＋a11

＝2＋2＋…＋2

＝2

＝2

＝2

＝2＝20＋.]

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝(    )

A．22 016－1           B．3·21 008－3

C．3·21 008－1   D．3·21 007－2

B　[a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.

∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，

∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016

＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)

＝＋＝3·21 008－3.故选B.]

3．(2019·龙岩模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，对n∈N*都有Sn＝1－an，若bn＝log2an，则＋＋…＋＝________.

　[对n∈N*都有Sn＝1－an，当n＝1时，a1＝1－a1，解得a1＝.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－an－(1－an－1)，化为an＝an－1.

∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为.∴an＝n.

∴bn＝log2an＝－n.

∴＝＝－.

则＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.]

4．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.

[解]　(1)设{an}的公比为q，

由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，

又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，

所以an＝2n.

(2)由题意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn＝2n＋1.

令cn＝，则cn＝.

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝＋＋＋…＋＋，

又Tn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减得

Tn＝＋－，

所以Tn＝5－.