2020版高考数学一轮复习课后限时集训11《函数与方程》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(十一)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(    )

A．0,2    B．0，

C．0，－   D．2，－

C　[由题意知2a＋b＝0，

即b＝－2a.

令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]

2．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是(    )

A．1          B．2   C．3      D．4

C　[作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.]

3．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(    )

A．(0,1)           B．(0,2)

C．(2,3)   D．(2,4)

B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6＜0，

f(4)＝24＋12－7＞0，

f(2)＝22＋6－7＞0，所以f(0)·f(2)＜0，所以零点在区间(0,2)．]

4．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x0∈(－1,1)，f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(    )

A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)  B．(－∞，－3)

C．(－3,1)   D．(1，＋∞)

A　[当a＝0时，f(x)＝3，不合题意，当a≠0时，由题意知f(－1)·f(1)＜0，即(－3a＋3)(a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1，故选A.]

5．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(    )

A．(－∞，－1)          B．(－∞，0)

C．(－1,0)   D．[－1,0)

D　[当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D.]

二、填空题

6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．

(－∞，1)　[设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]

7．方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．

[5,10)　[令函数f(x)＝2x＋3x－k，

则f(x)在R上是增函数．

当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)＜0，

即(5－k)(10－k)＜0，

解得5＜k＜10.

当f(1)＝0时，k＝5.]

8．(2019·衡阳模拟)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．

(0,2)　[由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，

则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.

[证明]　令g(x)＝f(x)－x.

∵g(0)＝，g＝f－＝－，

∴g(0)·g＜0.

又函数g(x)在上连续，

∴存在x0∈，使g(x0)＝0，

即f(x0)＝x0.

10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.

(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．

[解]　(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．

依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根．

因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．

(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，

只需

即解得<a<.

故实数a的取值范围为.

B组　能力提升

1．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(    )

A．(1,3)           B．(0,3)

C．(0,2)   D．(0,1)

D　[画出函数f(x)的图象如图所示，

观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1.故选D.]

2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(    )

A．9           B．10

C．11   D．18

B　[在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10.

]

3．(2019·昆明模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－a(x－2)．若g(x)存在两个零点，则实数a的取值范围是________．

∪(0，＋∞)　[函数g(x)有两个零点，就是方程g(x)＝f(x)－a(x－2)＝0有两个解，也就是函数y＝f(x)与y＝a(x－2)的图象有两个交点．y＝f(x)＝的图象如图所示．直线y＝a(x－2)过定点(2,0)．当a＝0时，两个函数的图象只有一个交点，不符合题意；当a＜0时，两个函数的图象要有两个交点，则直线y＝a(x－2)过点(0,1)时，斜率a取得最小值，为－，所以－≤a＜0；当a＞0时，两个函数的图象一定有两个交点．综上，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．]

4．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

[证明]　∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，

即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c.

∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.

在区间[0,1]内选取二等分点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.

∵f(0)＞0，f(1)＞0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．