2020版高考数学一轮复习课后限时集训42《圆的方程》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(四十二)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(    )

A．x2＋(y－2)2＝1   B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1   D．x2＋(y－3)2＝1

A　[设圆心为(0，a)，

则＝1，

解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.]

2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(    )

A．(－∞，－2)∪   B.

C．(－2,0)   D.

D　[方程化简为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.]

3．(2019·广东六校模拟)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(    )

A．(x－)2＋(y－1)2＝4

B．(x－)2＋(y－)2＝4

C．x2＋(y－2)2＝4

D．(x－1)2＋(y－)2＝4

D　[设所求圆的圆心为(a，b)，

则∴

∴圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.]

4．(2019·湖南长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(    )

A．1＋           B．2

C．1＋   D．2＋2

A　[将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.]

5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，则该圆的标准方程为(    )

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2

C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4

C　[设圆心坐标为(2，－a)(a＞0)，则圆心到直线x＋y＝2的距离d＝＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.]

二、填空题

6．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．

(0,4)　[设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|得

(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.

半径r＝|CA|＝＝.

故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

由题意知(m－2)2＋()2＜10，解得0＜m＜4.]

7．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．

(x－2)2＋2＝　[由已知可设圆心为(2，b)，

由22＋b2＝(1－b)2＝r2，

得b＝－，r2＝.

故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.]

8．(2018·宜昌模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．

(0，－1)　[圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大，此时圆C坐标为(0，－1)．]

三、解答题

9．求适合下列条件的圆的方程．

(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；

(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．

[解]　(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有

解得a＝1，b＝－4，r＝2.

所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．

所以半径r＝＝2，

所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

则

解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.

10．如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.

(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；

(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．

[解]　(1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(，3)，D(－，3)，设圆心E(0，b)．

由|EB|＝|EC|，

得(0－3)2＋(b－0)2＝(0－)2＋(b－3)2，

解得b＝1，r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，

所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

(2)设P(x，y)，由已知得M(2x－5,2y－2)，

代入x2＋(y－1)2＝10，

得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，

化简得2＋2＝.

B组　能力提升

1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(    )

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

A　[设M(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PM中点为Q(x，y)，

则∴

代入圆的方程得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，

即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.]

2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是(    )

A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3)

C．[－1,1]   D．[－3，－1]∪[1,3]

D　[圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，

∴1≤|a|≤3，

解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.

∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]

3．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，则点M的轨迹方程为________．

(x－1)2＋(y－3)2＝2　[圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0,4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．

由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.

即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.]

4．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．

(1)求证：△OAB的面积为定值；

(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．

[解]　(1)因为圆C过原点O，所以|OC|2＝t2＋.

设圆C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；

令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，

所以S△OAB＝|OA|·|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值．

(2)因为|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，

所以OC垂直平分线段MN.

因为kMN＝－2，所以kOC＝.

所以＝t，解得t＝2或t＝－2.

当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，

此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＜，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．

符合题意，此时，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，

|OC|＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝＞.

圆C与直线y＝－2x＋4不相交，

所以t＝－2不符合题意，舍去．

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

即为x2＋y2－4x－2y＝0.