2020版高考数学一轮复习课后限时集训38《空间向量的运算及应用》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(三十八) (建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(    )A．垂直   B．平行C．异面   D．相交但不垂直B　[由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又与没有公共点，∴AB∥CD.]2．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(    )A．2x＋y＋z＝1B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4D．x＋y－z＝0A　[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴解得2x＋y＋z＝1，故选A.]3．如图所示，三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(    )A.(－a＋b＋c)B.(a＋b－c)C.(a－b＋c)D.(－a－b＋c)B　[＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c)．]4．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，若⊥，则λ＝(    )A．3           B．1C．±3   D．－3C　[由题知，＝(1,3，λ＋1)，＝(1，－3，λ－1)，由⊥，可得·＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，故选C.]5．已知正四面体A­BCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·＝(    )A.   B.C．－   D．－D　[因为＝2，＝2，所以EF∥BD，EF＝BD，即＝，则·＝·＝||||cos ＝－.故选D.]二、填空题6.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．垂直　[以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0,1，，O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直．]7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．α∥β　[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.]8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．2或　[∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，∴||＝＝＝＝＝，∴||＝2或.∴BD的长为2或.]三、解答题9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．[解]　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图所示，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD⊥AF，PD⊥AH.又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.B组　能力提升1．若x，y∈R，有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则P，M，A，B共面；④若点P，M，A，B共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是(    )A．1           B．2C．3   D．4B　[①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不正确．]2.(2019·四川名校联考)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(    )A．相交B．平行C．垂直D．不能确定B　[∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴＝，＝，∴＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋＝＋.又∵是平面B1BCC1的法向量，且·＝·＝0，∴⊥，∴MN∥平面B1BCC1.故选B.]3．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．①②③　[∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又与不平行，∴是平面ABCD的法向量，则③正确．∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，∴与不平行，故④错误．]4.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．[解]　(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．底面边长为a，则高SO＝a，于是S，D，B，C，＝，＝，则·＝0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝.设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇒t＝.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.而BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.