2020版高考数学一轮复习课后限时集训14《导数与函数的单调性》(理数)（含解析） 试卷

课后限时集训(十四)

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1．函数y＝4x2＋的单调增区间为(    )

A．(0，＋∞)   B.

C．(－∞，－1)   D.

B　[函数y＝4x2＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

y′＝8x－＝，令y′＞0，得8x3－1＞0.

解得x＞，故选B.]

2．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(    )

A．(－∞，－2]           B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞)   D．[1，＋∞)

D　[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．

由于k≥，而0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．]

3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(    )

A．f＞f(1)＞f

B．f(1)＞f＞f

C．f＞f(1)＞f

D．f＞f＞f(1)

A　[因为f(x)＝xsin x，

所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)．

所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.又x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x＞0，所以此时函数是增函数．

所以f＜f(1)＜f.

所以f＞f(1)＞f，故选A.]

4．已知函数f(x)＝x3－ax，在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为(    )

A．(1，＋∞)           B．[3，＋∞)

C．(－∞，1]   D．(－∞，3]

B　[f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2＜3，则a≥3，故选B.]

5．(2019·长春模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为(    )

A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)

B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)

C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)

D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定

A　[设g(x)＝，

则g′(x)＝＝，

由题意得g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，

当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，

所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)，故选A.]

二、填空题

6．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．

(0,1)　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＜0得

0＜x＜1，因此f(x)的单调递减区间为(0,1)．]

7．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为________．

[3，＋∞)　[∵函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，∴f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)内恒成立，

即a≥x在(0,2)内恒成立．

∵t＝x在(0,2]上的最大值为×2＝3，∴a≥3.]

8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x(a∈R)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值范围是________．

(－∞，2]∪[5，＋∞)　[f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)·[x－(a－1)]

∵f(x)是区间(1,4)上的单调函数．

∴a－1≤1或a－1＞4，解得a≤2或a≥5.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

[解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－(x＞0)，

由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.

(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，

则f′(x)＝(x＞0)．

令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.

因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．

当x∈(0,5)时，f′(x)＜0，

故f(x)在(0,5)内为减函数；

当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，

故f(x)在(5，＋∞)内为增函数，

综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．

10．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．

[解]　函数的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝x－＋a－2＝.

①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)内单调递增．

②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时，∵0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减．

③当－a＞2，即a＜－2时，

∵0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0，

∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．

综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减；当a＜－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．

B组　能力提升

1．(2019·惠州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为(    )

A．{x|－1＜x＜1}   B．{x|x＜－1}

C．{x|x＜－1或x＞1}   D．{x|x＞1}

D　[令φ(x)＝f(x)－－，则φ′(x)＝f′(x)－＜0，∴φ(x)在R上是减函数．∵φ(1)＝f(1)－－＝1－1＝0，∴φ(x)＝f(x)－－＜0的解集为{x|x＞1}，故选D.]

2．(2017·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(    )

A．f(x)＝2－x           B．f(x)＝x2

C．f(x)＝3－x   D．f(x)＝cos x

A　[若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．

对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．

经验证，选项B，C，D均不符合题意．

故选A.]

3．(2019·合肥模拟)已知f(x)＝e－x－ex＋x－sin x(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x2－x)＜f(x＋3)的解集为________．

(－∞，－1)∪(3，＋∞)　[由已知得，f(－x)＝ex－e－x－x＋sin x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，又f′(x)＝－e－x－ex＋1－cos x，－e－x－ex＝－≤－2，所以f′(x)＜0恒成立，所以f(x)是R上的减函数，所以f(x2－x)＜f(x＋3)，即x2－x＞x＋3，所以x2－2x－3＞0，所以x＜－1或x＞3.]

4．(2019·新乡模拟)已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]　(1)∵当a＝1时，f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，

又f(1)＝e＋1，

∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，即ex－y＋1＝0.

(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，

∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，

∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，

则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，

在(－∞，ln 2)上，g′(x)＞0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)＜0，

∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，

∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，

∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞)．