初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数优秀同步训练题

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这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数优秀同步训练题，共6页。

类型之一二次函数的图象和性质

1．已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为( A )

A．a>b B．a

C．a＝b D．不能确定

2．[2013·聊城]二次函数y＝ax2＋bx的图象如图22－1所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( C )

类型之二用待定系数法求二次函数解析式

3．如图22－2，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴的另一交点为E，连接EC，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的解析式．

图22－2

解：由已知点，得C(5，4)．

把A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，

得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝25a＋5b＋c，,0＝4a－2b＋c，,4＝c.))

解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(2,7)，,b＝\f(10,7)，,c＝4.))

所以抛物线的解析式为y＝－eq \f(2,7)x2＋eq \f(10,7)x＋4.

4．如图22－3，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(9,2)))在抛物线上，求m的值．

图22－3

【解析】 (1)先求A点、B点坐标，设抛物线顶点式为y＝a(x－h)2＋k，从而求解析式；

(2)把Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(9,2)))代入(1)中的抛物线解析式．

解：(1)易求得A(－2，0)，B(0，－2)．

设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2，

将B(0，－2)代入抛物线的解析式得－2＝4a，a＝－eq \f(1,2)，

∴y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2，即y＝－eq \f(1,2)x2－2x－2.

(2)把eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(9,2)))代入y＝－eq \f(1,2)(x＋2)2，

得－eq \f(9,2)＝－eq \f(1,2)(m＋2)2，

∴(m＋2)2＝9，∴m＋2＝±3，∴m＝1或－5.

类型之三根据二次函数图象判断与系数有关的代数式的符号

5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22－4所示，在下列五个结论中：①2a－b<0；②abc<0；③a＋b＋c<0；④a－b＋c>0；⑤4a＋2b＋c>0，错误的个数有( B )

图22－4

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【解析】 ①∵函数图象开口向下∴a＜0，∵函数的对称轴x＝－eq \f(b,2a)＜0，且eq \f(－b,2a)>－1

∴－b<－2a

∴b>2a

即2a－b<0，即①正确．

②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；

③当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，③正确；

④当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，④错误；

⑤当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＜0，⑤错误；

故错误的有2个．

故选B.

6．如图22－5是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0，④若(－5，y1)，(eq \f(5,2)，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中说法正确的是( C )

图22－5

A．①② B．②③

C．①②④ D．②③④

【解析】根据图象得出a＞0，b＝2a＞0，c＜0，即可判断①②正确；把x＝2代入抛物线的解析式即可判断③错误，求出点(－5，y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3，y1)，根据当x＞－1时，y随x的增大而增大即可判断④正确．

类型之四抛物线的平移、对称

7．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( B )

A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2

C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2

8．[2013·聊城]如图22－6，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq \f(1,2)x2经过平移得到抛物线y＝eq \f(1,2)x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为( B )

图22－6

A．2 B．4

C．8 D．16

解：过点C作CA⊥y，

∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2－2x＝eq \f(1,2)(x2－4x)＝eq \f(1,2)(x2－4x＋4)－2＝eq \f(1,2)(x－2)2－2，

∴顶点坐标为C(2，－2)，

对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，故选B.

9．如图22－7，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．

(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；

(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．

图22－7

【解析】 (1)把点C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a求出a，通过配方求顶点坐标；(2)第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正．

解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1，

∴该二次函数的解析式为y＝x2－5x＋4.

∵y＝x2－5x＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)，

∴抛物线顶点坐标为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(9,4))).

(2)(答案不唯一，合理即正确)如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)＋3))eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)，

即y＝x2＋x＋2.

类型之五二次函数与一元二次方程

10．抛物线y＝eq \f(1,2)x2－x＋a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x上．

(1)求a的值；

(2)求A，B两点的坐标．

解：(1)抛物线y＝eq \f(1,2)x2－x＋a的顶点横坐标为x＝1，

∵顶点在直线y＝－2x上，

∴顶点的纵坐标为y＝－2，即顶点坐标为(1，－2)，

代入抛物线解析式得－2＝eq \f(1,2)－1＋a，

∴a＝－eq \f(3,2)；

(2)抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2)，

当y＝0时，eq \f(1,2)x2－x－eq \f(3,2)＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

即A(－1，0)，B(3，0)．

11．(1)已知一元二次方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1，x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.

(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A，B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．

解：(1)证明：∵a＝1，b＝p，c＝q，

∴b2－4ac＝＝p2－4q，∴x＝eq \f(－p±\r(p2－4q),2)，

即x1＝eq \f(－p＋\r(p2－4q),2)，x2＝eq \f(－p－\r(p2－4q),2)，

∴x1＋x2＝eq \f(－p＋\r(p2－4q),2)＋eq \f(－p－\r(p2－4q),2)＝－p，

x1·x2＝eq \f(－p＋\r(p2－4q),2)·eq \f(－p－\r(p2－4q),2)＝q.

(2)把(－1，－1)代入抛物线的解析式得p－q＝2，q＝p－2.

设抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A，B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．

∵d＝|x1－x2|，

∴d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2－4q＝p2－4p＋8＝(p－2)2＋4，

∴当p＝2时，d2取得最小值是4.

类型之六二次函数的实际应用

12．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6 m，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m，如图22－8所示，把它的图形放在直角坐标系中．

(1)求这条抛物线所对应的函数解析式．

(2)如图22－8，在对称轴右边1 m处，桥洞离桥面的距离是多少？

图22－8

解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5，4)，

所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为y＝a(x－5)2＋4，

由图象知该函数过原点，将O(0，0)代入上式，得：0＝a(0－5)2＋4，

解得a＝－eq \f(4,25)，

故该二次函数解析式为y＝－eq \f(4,25)(x－5)2＋4，

(2)对称轴右边1 m处即x＝6，此时y＝－eq \f(4,25)(6－5)2＋4＝3.84，

因此桥洞离桥面的距离是5.6－3.84＝1.76 m.

13．[2012·毕节]某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1 920元？

解：(1)y＝－10x2＋80x＋1 800(0≤x≤5，且x为整数)．

(2)∵y＝－10x2＋80x＋1 800＝－10(x－4)2＋1 960，

∴当x＝4时，y取得最大值为1 960.

答：每件商品的售价定为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润是1 960元．

(3)根据题意可令y＝1 920，即－10x2＋80x＋1 800＝1 920，

解得x1＝2，x2＝6(舍去)，所以售价应定为32元．

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