初中数学华师大版九年级上册22.2 一元二次方程的解法综合与测试第4课时教案设计

这是一份初中数学华师大版九年级上册22.2 一元二次方程的解法综合与测试第4课时教案设计，共6页。教案主要包含了创设情境，探究归纳，实践应用，交流反思，检测反馈，布置作业等内容，欢迎下载使用。

第四课时 公式法和一元二次方程根的判别式


教学目标：


知识技能目标


1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；


2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力．


过程性目标


1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；


2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点．


情感态度目标


1. 通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；


2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．


重点和难点：


重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；


难点：对字母系数二次三项式进行配方．


教学过程：


一、创设情境


问题1 用配方法解方程：x2-4x+2＝0．


问题2 思考如何用配方法解下列方程？


(1)4x2-12x-1＝0，(2)3x2+2x-3=0．


二、探究归纳


让学生独立解决问题1，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？


用配方法解一元二次方程的步骤：(1)移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；(2)配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；(3)用直接开平方法求解．其中(2)是关键．


问题1的结果是：．


让学生仿问题1，讨论尝试求解问题2；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？


指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．


问题2的结果是：(1)；(2)．


探索


我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．


用配方法来解一般形式的一元二次方程


ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．


因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a，得


，


移项，得


，


配方，得


，


即


．


因为a≠0，所以4a2＞0，当b2-4ac≥0时，得


，


即


．


所以


，


即


．


上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．





用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．


从上面的结论可以发现：


(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．


(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的两个根．


思考(1)当b2-4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？


(2)当 b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？


例 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？


（1）；


（2）；


（3）．


学生独立利用公式法解上述3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题过程，总结一元二次方程根的规律和的关系．


鼓励学生独立解方程，在解出方程后引导学生观察方程的解，经过讨论得出下列结论：


（1）当时，一元二次方程有实数根


，；


（2）当时，一元二次方程有实数根 ；


（3）当时，一元二次方程无实数根．


这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，用它可以直接判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况。


当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；


当△＜0时，方程有两个相等的实数根；


当△=0时，方程没有实数根。


三、实践应用


例1 解下列方程：


(1)2x2＋x-6＝0； (2)x2＋4x＝2；


(3)5x2-4x-12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1-8x．


解 (1)这里 a＝2，b＝1，c＝-6．


因为b2-4ac＝(1)2-4×2×(-6)＝1＋48＝49＞0，


所以 x=


即原方程的解是x1＝-2，x2.


(2)将方程化为一般式，得x2＋4x-2＝0.


因为 b2-4ac＝24,


所以 ．


原方程的解是x1＝-2＋,x2＝-2-.


(3)因为b2-4ac＝256，


所以．


原方程的解是，x2＝2.


(4)整理，得4x2-12x＋9＝0.


因为b2-4ac＝0,所以，


原方程的解是.


在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a、b、c的值；(2)算出b2-4ac的值；(3)代入求根公式求出方程的根．


对于(4)b2-4ac＝0，方程有两个相等的实数解，而不是一个实数解，不能写成．





例2 运用适当方法解下列方程：


(1)； (2)；


(3)(2x-5)(x-3)＝0； (4)．


分析 (1)适宜用直接开平方法；(2)化简后，得，可选择用公式法；(3)用因式分解法简单；(4)用公式法．


解 (1)化为，


直接开平方，得，


所以原方程的解是．


(2)化为,


因为b2-4ac＝12,


所以,


原方程的解是x1＝，x2＝.


(3)移项并因式分解，得(2x-5)(x-3)＝0,


所以2x-5＝0或x-3＝0．


原方程的解是x1＝，x2＝3.


(4)因为b2-4ac＝-4＜0,


所以这个方程没有实数解.


例3 不解方程，判断下列方程的根的情况：


(1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7；


(3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．


解 （1）因为△=42-4×1×（-6）=40，所以方程有两个不相等的实数根。


（2）原方程变形为2x2＋6x+7=0，因为△=62-4×2×7=-20，所以方程没有实数根。


（3）因为△=42-4×2×2=0，所以方程有两个相等的实数根。


（4）原方程可变形为4x2＋12x＋4＝0，因为△=122-4×4×4=80，所以方程有两个不相等的实数根。





四、交流反思


1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式


(b2-4ac≥0)．


利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a、b、c的值；(3)算出b2-4ac的值；(4)代入求根公式求根．


2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b2-4ac的值．


3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，对于各种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．


五、检测反馈


1.应用求根公式解方程：


(1)x2-6x＋1＝0； (2)2x2-x＝6；


(3)4x2-3x-1＝x-2； (4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1) ．


2.运用适当的方法解下列方程：


(1) (x-1)(x＋3)＝15； (2) 2x2+3＝6x；


(3)； (4)(2x+1)2＝2(2x+1)．


六、布置作业


习题22．2的第4(5)\(6\(7)\(8)，5,6,7,8,9题.