22.2 一元二次方程的解法（第4课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案 学案

教学目标

1.了解根的判别式，掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的实数根的情况.

2.推导一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的b2-4ac的符号与其根的关系.

教学重难点

重点：会用根的判别式判断一元二次方程根的情况.

难点：会根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围.

教学过程

复习巩固

一元二次方程的求根公式：

一般地，对于一元二次方程，如果 b2-4ac≥0，

那么方程的两个根为

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

配方法推导一元二次方程的求根公式.

教师总结：

任何一元二次方程都可以写成一般形式

我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到

所以x1＝，x2­­＝ .

也就是说，一元二次方程有实数根应满足的条件就是本节学习的内容.

教师总结并引出课题：22.2　一元二次方程的解法　

　　第4课时　一元二次方程根的判别式

探究新知

探究点一　根的判别式

【总结】

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定，

因此可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.

只有当一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的系数a，b，c满足条件b2-4ac≥0时才

有实数根.把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式. 通常用符号“Δ”来表示.

探究点二　用根的判别式判断一元二次方程根的情况

【问题2】

活动2（师生互动）

一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)根的情况：

一元二次方程的根有三种情况

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程没有实数根.

反过来，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2-4ac；

当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2-4ac＝；

当一元二次方程没有实数根时，b2-4ac；

当一元二次方程有实数根时，b2-4ac≥.

【注意】（1）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；

（2）当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根.

【问题3】

活动3（师生互动）

例1　不解方程，判断下列方程的根的情况.

（1）2x2-5x+3＝0；

（2）3x2+3＝-6x；

（3）4x2+7x+4＝0.

【探索思路】(引发学生思考)不解方程，要判断方程的根的情况，结合一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系，各方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是怎样的？

【解】（1）因为Δ＝(-5)2-4×2×3＝25-24＝1>0，

所以方程有两个不相等的实数根.

（2）原方程可变形为 3x2+6x+3＝0,

因为Δ＝62-4×3×3＝36-36＝0，

所以方程有两个相等的实数根.

（3）因为Δ＝72-4×4×4＝49-64<0，

所以方程没有实数根.

【题后总结】(学生总结，老师点评)不解一元二次方程，由Δ确定方程根的情况的一般步骤：(1)将原方程化为一般形式；(2)确定a，b，c的值；(3)计算b2-4ac的值；

(4)判断b2-4ac与0的大小；(5)得出结论.

即学即练

1.不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)16x2+8x＝-3；　(2)9x2+6x+1＝0；

(3)2x2-9x+8＝0；　(4)x2-7x-18＝0.

【解】(1)原方程可变形为16x2+8x+3＝0，则a＝16，b＝8，c＝3.

∵ Δ＝b2-4ac＝64-4×16×3＝64-192＝-128<0，

∴ 方程没有实数根.

(2)a＝9，b＝6，c＝1.

∵ Δ＝b2-4ac＝62-4×9×1＝36-36＝0，

∴ 方程有两个相等的实数根.

(3)a＝2，b＝-9，c＝8.

∵ Δ＝b2-4ac＝(-9)2-4×2×8＝81-64＝17>0，

∴ 方程有两个不相等的实数根.

(4)a＝1，b＝-7，c＝-18.

∵ Δ＝b2-4ac＝(-7)2-4×1×(-18)＝49+72＝121>0，

∴ 方程有两个不相等的实数根.

【问题4】

活动4（师生互动）

例2　若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的

取值范围是 (      )

A. k＜5      　　　　              B. k＜5且k≠1     

C. k≤5且k≠1                     D. k＞5

【解析】由题意知关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，

∴ k＜5且k≠1.

【答案】B

【即学即练】

2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1＝0有两个实数根，则实数m

的取值范围是(    )

A.m≥0       　　　　　　　　　　 B.m＞0

C.m≥0且m≠1             　　    D.m＞0且m≠1

【答案】C

【点拨】若一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有实数根，则b2-4ac≥0.

课堂练习

1.一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是(　　)

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法判断

2.若关于x的一元二次方程x2+x-m＝0有实数根，则m的取值范围是(　　)

A.m≥ B.m≥-

C.m≤ D.m≤-

3.已知方程x2+px+q＝0有两个相等的实数根，则p与q的关系是　　　　　.

4.一元二次方程x2-5x-78＝0根的情况是　　　　　　　　　　.

5.不解方程，试判断下列方程的根的情况：

(1)2+5x＝3x2；

(2)x2-(1+2)x++4＝0.

6.已知关于x的方程kx2-6x+9＝0，问k为何值时，这个方程：

(1)有两个不相等的实数根？

(2)有两个相等的实数根？

(3)没有实数根？

7.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC

三边的长.若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.

8.如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m-

5)x2-2(m-1)x+m＝0的根的情况.

参考答案

1.C　2. B　3. p2＝4q

4.有两个不相等的实数根

5.【解】(1)方程有两个不相等的实数根.

(2)方程没有实数根.

6.【解】(1)当k＜1且k≠0时，方程有两个不相等的实数根.

(2)当k＝1时，方程有两个相等的实数根.

(3)当k＞1时，方程没有实数根.

7.【解】△ABC是直角三角形.理由如下：

∵关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)＝0，

∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形.

8.【解】∵方程mx2-2(m+2)x+m+5＝0没有实数根，

∴Δ＝[-2(m+2)]2-4m(m+5)＝4(m2+4m+4-m2-5m)＝4(4-m)＜0，∴m＞4.

对于方程(m-5)x2-2(m-1)x+m＝0，

当m＝5时，方程有一个实数根；

当m≠5时，Δ1＝[-2(m-1)]2-4m(m-5)＝12m+4.

∵ m＞4，∴ Δ1＝12m+4＞0，∴ 此时方程有两个不相等的实数根.

综上，当m＝5时，方程(m-5)x2-2(m-1)x+m＝0有一个实数根；

当m＞4且m≠5时，方程(m-5)x2-2(m-1)x+m＝0有两个不相等的实数根.

【注意】不要忽略对方程(m-5)x2-2(m-1)x+m＝0是否为一元二次方程进行讨论，

此方程可能是一元一次方程.

 课堂小结

 (学生总结，老师点评)

布置作业

教材第33页练习1，2题，第36页习题22.2第7~9题.

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.2　一元二次方程的解法

第4课时　一元二次方程根的判别式

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

根的判别式

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2

利用根的判别式判断一元二次方程根的情况

教学反思

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