22.2 一元二次方程的解法（第1课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案 学案

教学目标

1.理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤 .

2.能灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程.

3.了解转化、降次思想在解方程中的运用.

教学重难点

重点：理解直接开平方法和因式分解法.

难点：会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程.

教学过程

复习巩固

1.平方根的概念

如果一个数x的平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根，即x2 ＝a, 　

x叫做a的平方根.

2.因式分解

把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.

(1)x2＝4；(2)  x2＝0；(3) x2+1＝0.

【解】 (1)根据平方根的意义，得x1＝2, x2＝-2.

(2)根据平方根的意义，得x1＝x2＝0.

(3)根据题意，得x2＝-1,

因为负数没有平方根，所以原方程无解.

教师总结并引出课题：22.2一元二次方程的解法　

第1课时　直接开平方法和因式分解法

探究新知

探究点一　直接开平方法

一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得

，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

【归纳】 一般的，对于方程 x2 ＝ p,

（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 ＝ p有两个不相等的实数根

，；

（2）当p＝0 时，方程x2 ＝ p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；

（3）当p<0 时,因为对任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 ＝p无实数根.

【问题2】活动2（师生互动）

例1　利用直接开平方法解下列方程:

(1) x2＝25；　(2) x2-900＝0.

【解】（1）直接开平方，得即

（2）移项，得x2＝900.

直接开平方，得x＝±30，

即x1＝30,  x2＝-30.

即学即练

对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)2＝25？

【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）.

所以方程（x+2）2＝25的两个根为

【题后总结】(学生总结，老师点评)上面的解法中 ，由方程（1）得到（2），

实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把

方程转化为我们会解的方程了.

例2  解下列方程：

（1）(x+2)2＝7 ；（2）(2x+3)2＝16；

【探索思路】(引发学生思考)（1）只要将（x+2）看成是一个整体，就可以运用

直接开平方法求解.（2）解题方法同第（1）小题.

【解】（1）由题意知x+2是7的平方根，

∴ x+2＝即x+2＝或x+2＝，

∴ ，.

（2）由题意知2x+3是16的平方根，

∴ 2x+3 ＝±4.

即2x+3 ＝4或2x+3 ＝-4

∴ x1＝，x2＝.

【总结】采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或(mx+n)2＝ p(p≥0)的形式的方程，可得x＝或mx+n＝.

【问题3】活动3（师生互动）

探究点二　用因式分解法解一元二次方程

解方程.小亮是这么解的：

把方程两边同除以x ，得x-7＝0,所以x＝7.

小亮的解法对吗？为什么？

【答案】小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零，

所以小亮的解法不对 .

【归纳】

1.因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

2.因式分解法的基本步骤

（1）移项：将方程的右边化为0;

（2）化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;

（3）转化：将方程转化为两个一元一次方程;

（4）求解：解两个一元一次方程，写出方程的解.

例3　用因式分解法解下列方程

（1）3x2-6x＝9; （2）4x2-121＝0.

【解】(1)化为一般式为x2-2x-3＝0.

因式分解，得( x+1 )( x-3)＝0.

从而或x-3＝0，

所以x1＝-1，x2＝3.

(2)因式分解，得( 2x + 11 )( 2x-11 ) ＝ 0.

从而2x + 11＝0或2x -11＝ 0，

所以x1＝，x2＝.

【题后总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程时，我们先将左

边化为两个一次因式的乘积，右边是0的形式，然后由乘积等于0，得到两个因式

中至少有一个等于0，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程来解

例4　用直接开平方法或因式分解法解下列方程：

(1)(x+1)2＝2；　(2)(2x+1)2＝2x+1；

(3)-x2＝4x；　　(4)(x+5)2＝9.

【探索思路】(引发学生思考)观察方程的特点，确定解方程的方法及一般步骤.

【解】(1)直接开平方，得x+1＝±.

故x1＝-1，x2＝--1.

(2)移项，得(2x+1)2-(2x+1)＝0.方程左边分解因式，得(2x+1)(2x+1-1)＝0，

所以2x+1＝0或2x+1-1＝0，得x1＝-，x2＝0.

(3)方程可变形为x2+4x＝0.方程左边分解因式，得x(x+4)＝0，

所以x＝0或x+4＝0，得x1＝0，x2＝-4.

(4)方程两边同时乘2，得(x+5)2＝18，

直接开平方，得x+5＝±3，

所以x1＝3-5，x2＝-3-5.

【题后总结】(学生总结，老师点评)(1)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：①观察方程两边是否符合x2＝b(b≥0)或(mx+a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；

②直接开平方，得到两个一元一次方程；③解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根.

(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，将方程的右边化为0；②将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得到原方程的根.

课堂练习

1.一元二次方程x2-16＝0的根是(　　)

A.x＝2　　　　　　　　   B.x＝4

C.x1＝2，x2＝-2 D.x1＝4，x2＝-4

2. 一元二次方程（x3）（x5）＝0的两根分别为（    ）

A.＝3，5　　　　　B.3，5

C.3，＝5　　　　　D.＝3，＝5

3.方程x的解是（    ）

A.x＝0                    B.x＝

C.＝0，        　D.

4.方程2x＝0的根是（    ）

A.＝0

B.＝2

C.＝0，＝2

D.＝0，2

5.解下列方程：

(1)4x2＝25；

(2)x(x+2)＝x+2.

6.解下列方程：

(1)3(x+1)2＝；

(2)(x+1)2-4＝0.

参考答案

1.D

2.D　【解析】∵ （x3）（x5）＝0，∴ x或x∴ ＝3，

3.C　【解析】原方程可化为x＝0，∴ x（x）＝0，∴ ＝0，.

4.C　【解析】2x＝0，方程左边分解因式，得x（x2）＝0，

解得＝0，＝2.

5.【解】(1)方程可化为x2＝.直接开平方，得x＝±，所以x1＝，x2＝-.

(2)移项，得x(x+2)-(x+2)＝0.方程左边分解因式，得(x+2)(x-1)＝0，

所以x+2＝0或x-1＝0，得x1＝-2或x2＝1.

6.【解】（1）方程两边都除以3，得(x+1)2＝ ，

直接开平方，得x+1＝±，即x+1＝或x+1 ＝-，

∴ x1＝，x2＝.　

（2）移项，得 (x+1)2＝4，

直接开平方，得x+1＝±2 ，即x+1＝2或x+1＝-2，

∴ x1＝1，x2＝-.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

直接开平方法　 　

因式分解法 　

布置作业

教材第23页练习题，第25页练习题

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.2　一元二次方程的解法

第1课时　直接开平方法和因式分解法

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　 例1

一、直接开平方法解一元二次方程　　　　　　 例2

【问题3】　　　　　　　　　　　　　　　　 例3

二、因式分解法解一元二次方程

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例4

教学反思

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