22.2 一元二次方程的解法（第5课时） 华东师大版九年级数学上册教学详案 学案

教学目标

1.理解一元二次方程的根与系数的关系.

2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

教学重难点

重点：理解一元二次方程的根与系数的关系.

难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

教学过程

复习巩固

一元二次方程求根公式：

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果 b2-4ac≥0，那么方程的两个根为

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

例1　解下列方程，并求出两根的和与两根的积：

（1）x2+3x-4＝0;      (2)x2-5x+6＝0;       (3)2x2+3x+1＝0.

【解】（1）x1＝-4，x2＝1，x1+x2＝-3，x1·x2＝-4；

（2）x1＝2，x2＝3，x1+x2＝5，x1·x2＝6；

（3）x1＝，x2＝-1，.

一元二次方程两个根的和与两个根的积与系数有怎样的关系，这就是本节课要学习的内容.

教师总结并引出课题：22.2　一元二次方程的解法　

  第5课时　一元二次方程的根与系数的关系

探究新知

探究点一　一元二次方程的根与系数的关系

【问题2】

活动2（学生交流，教师点评）

一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）.

我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到

即x

所以x1＝，x2＝.

所以x1+x2＝，x1x2＝.

【总结】

如果一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么，

.

特殊形式：若x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q .

例2　下列方程的两根和与两根积各是多少？

(1) x2-3x+1＝0 ；        (2) 3x2-2x＝2；

(3) 2x2+3x＝0；      　  (4)3x2＝1.

【探索思路】由根与系数的关系直接求出即可.

【解】(1)，；

(2) ,；

(3),；

(4),.

探究点二　利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题

【问题3】

活动3（学生交流，教师点评）

1.求代数式的值

例3　已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，不解方程，求下列代数式的值.

(1)(x1-x2)2；　(2).

【探索思路】(引发学生思考)方程x2+6x+3＝0的根与系数的关系是什么？所求代

数式与它们的关系有什么联系？

【解】∵ x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，

∴ x1+x2＝-6，x1x2＝3.

(1)(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2＝(-6)2-4×3＝24.

(2)＝＝＝＝10.

【题后总结】(学生总结，老师点评)求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和、两根之积的形式,再整体代入.

【归纳】

常见的与一元二次方程根的和、积有关系的代数式变形：

①+＝(x1 + x2)2-2x1x2；

②(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2；

③；

④＝；

⑤(x1+k)(x2+k)＝x1x2+k(x1+x2)+k2；

⑥|x1-x2|＝＝.

【问题4】

活动4（学生交流，教师点评）

2.构造新方程

例4　求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.

【解】(x-2)（x-3）＝0，

即x2-5x+6＝0.

【问题5】

活动5（学生交流，教师点评）

3.求方程中待定系数

例5　方程x2+px+q＝0 的两根之和为6，一根为2，求p，q的值.

【解】设方程的另一个根为x1.

由题意，得 2+x1＝-p＝6，2x1＝q，

所以x1＝4，p＝-6，q＝8.

即学即练

已知方程5x2+kx-6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

【解】设方程 5x2+kx-6＝0的两个根分别是x1，x2，其中x1＝2 .

所以 x1·x2＝2x2 ＝,

即x2＝.

由于x1+x2＝2+，

所以k＝-7.

所以方程的另一个根是，k＝-7.

课堂练习

1.方程x2-6x+10＝0的根的情况是(　　)

A.两个实根之和为6

B.两个实根之积为10

C.没有实数根

D.有两个相等的实数根

2.若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程可能是(　　)

A.x2+3x-2＝0 B.x2+3x+2＝0

C.x2-3x+2＝0 D.x2-2x+3＝0

3.设a，b是方程x2+2x-2 019＝0的两个不相等的实数根.

(1)a+b＝　　，ab＝　　，2a2+4a＝　　　　；

(2)求代数式a2+3a+b的值.

4.请利用一元二次方程的根与系数的关系解决下列问题：

(1)若x2+bx+c＝0的两根为-2和3，求b和c的值；

(2)设方程2x2-3x+1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求+的值.

5.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5.

6.若关于x的方程x2+(a-1) x+a2＝0的两个根互为倒数，求a的值.

7.设一元二次方程x2-6x+k＝0的两根分别为x1，x2.

(1)若x1＝2，求x2的值；

(2)若k＝4，且x1，x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，试求Rt△ABC的面积.

参考答案

1.C　

2.C　

3.【解】(1)-2，-2 019,　4 038；

(2)a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2 019-2＝2 017.

4.【解】(1)b＝-1，c＝-6.　

(2)+＝3.

5.【解】根据题意，得5（x-2）（x-3）＝0，

即5x2-25x+30＝0.

6.【解】因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1.

由根与系数的关系，得a2＝1.

解得a＝±1.

当a＝1时，原方程化为x2+1＝0，根的判别式Δ<0，此方程没有实数根，

所以舍去a＝1.所以a＝-1.

7.【解】(1)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的两根，且x1＝2，

∴ x1+x2＝-(-6)，即2+x2＝6，∴ x2＝4.

(2)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的两根，k＝4，

∴ x1·x2＝k＝4.

又∵ x1，x2分别是Rt△ABC的两条直角边的长，

∴ SRt△ABC＝x1·x2＝×4＝2.

 课堂小结

 (学生总结，老师点评)

　一元二次方程的根与系数的关系：

ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2 ，x1x2＝.

特殊地，x2+px+q＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝-p，x1x2＝q .

布置作业

教材第35页练习1，2，3题，第36页习题22.2第10，11题.

板书设计

课题　第22章　一元二次方程

22.2　一元二次方程的解法

第5课时　一元二次方程的根与系数的关系

【问题1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

一元二次方程的根与系数的关系　　　　　　　　　　　　

【问题2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2

一元二次方程的根与系数的关系的应用

教学反思

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