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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线学案
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双曲线的几何性质
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( )
A.2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \f(3,2)
LISTNUM OutlineDefault \l 3 圆O的半径为定长,A是平面上一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为( )
A.一个点 B.椭圆 C.双曲线 D.以上选项都有可能
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知F是双曲线C:x2-eq \f(y2,3)=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,2)
LISTNUM OutlineDefault \l 3 双曲线eq \f(x2,16)-eq \f(y2,m)=1的离心率为eq \f(5,4).则m=________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 焦点为(0,6),且与双曲线eq \f(x2,2)-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是___________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2),则C的渐近线方程为_____________.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 根据下列条件求双曲线的标准方程:
(1)经过点(eq \f(15,4),3),且一条渐近线方程为4x+3y=0.
(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为eq \f(π,3).
LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为eq \r(2)且过点(4,-eq \r(10)).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上;
(3)求△F1MF2的面积.
答案解析
LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为:B;
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:C;
解析:双曲线为等轴双曲线,两条渐近线方程为y=±x,即eq \f(b,a)=1,e=eq \f(c,a)=eq \r(2).
LISTNUM OutlineDefault \l 3 C.解析:∵A为⊙O外一定点,P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,
则QA=QP,则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R,即动点Q到两定点O、A的距离差为定值,
根据双曲线的定义,可知点Q的轨迹是:以O,A为焦点,OP为实轴长的双曲线,故选:C.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:D.
解析:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,
得4-eq \f(y2,3)=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,
又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=eq \f(1,2)|PF|·|AP|=eq \f(1,2)×3×1=eq \f(3,2).故选D.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:9
解析:∵a=4,b=eq \r(m),∴c2=16+m,e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(16+m),4)=eq \f(5,4),∴m=9.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:2或eq \f(2\r(3),3)
解析:根据题意,由于双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),两条渐近线的夹角为60°,
则可知eq \f(b,a)=eq \r(3)或eq \f(b,a)=eq \f(\r(3),3),那么可知双曲线的离心率为e=eq \r(1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2),所以结果为2或eq \f(2\r(3),3).
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:eq \f(y2,12)-eq \f(x2,24)=1
解析:由eq \f(x2,2)-y2=1,得双曲线的渐近线为y=±eq \f(\r(2),2)x.设双曲线方程为:eq \f(x2,2)-y2=λ(λ<0),
∴eq \f(x2,2λ)-eq \f(y2,λ)=1.∴-λ-2λ=36,∴λ=-12.故双曲线方程为eq \f(y2,12)-eq \f(x2,24)=1.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为:y=±eq \f(1,2)x
解析:∵e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(a2+b2,a2)=1+eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4),∴eq \f(b2,a2)=eq \f(1,4),∴eq \f(b,a)=eq \f(1,2),∴y=±eq \f(1,2)x.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:
(1)∵双曲线的一条渐近线方程为4x+3y=0,
∴可设双曲线方程为eq \f(x2,9)-eq \f(y2,16)=λ(λ≠0).
∵双曲线经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4),3)),∴eq \f(1,9)×eq \f(152,16)-eq \f(32,16)=λ.即λ=1.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)-eq \f(y2,16)=1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点,依题意,它的焦点在x轴上,
∵PF1⊥PF2,且OP=6,∴2c=F1F2=2OP=12,∴c=6.
又P与两顶点连线夹角为eq \f(π,3),∴a=|OP|·taneq \f(π,6)=2 eq \r(3),
∴b2=c2-a2=24.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)-eq \f(y2,24)=1.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:
(1)∵离心率e=eq \r(2),∴设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
则由点(4,-eq \r(10))在双曲线上,知λ=42-(-eq \r(10))2=6,
∴双曲线方程为x2-y2=6,即eq \f(x2,6)-eq \f(y2,6)=1.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,∴m2=3.
由双曲线x2-y2=6知,F1(2 eq \r(3),0),F2(-2 eq \r(3),0),
∴MF1·MF2=(2 eq \r(3)-3,-m)·(-2 eq \r(3)-3,-m)=9-(2 eq \r(3))2+m2=0.
∴MF1―→⊥MF2―→,∴点M在以F1F2为直径的圆上.
(3)S△F1MF2=eq \f(1,2)×2c×|m|=c|m|=2 eq \r(3)×eq \r(3)=6.
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