高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质优秀导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质优秀导学案，共13页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。



1.掌握双曲线的简单几何性质.


2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.





重点：双曲线的简单几何性质


难点：运用方程推出双曲线的相关几何性质





知识梳理


双曲线的几何性质





(1)双曲线与椭圆的六个不同点:


(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为2 .


(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.


1.判断


(1)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的形状相同. ( )


(2)双曲线x2a2-y2b2=1与y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线相同. ( )


(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. ( )


2.圆锥曲线x2m+8+y29=1的离心率e=2,则实数m的值为( )


A.-5 B.-35 C.19 D.-11








创设问题情境


已知双曲线C的方程为x2-y24=1,根据这个方程完成下列任务：


（1）已观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面


直角坐标系中的位置特征；


（2）指出双曲线C是否关于x轴、 y轴、原点对称；


（3）指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；


（4）如果（ x ， y ）满足双曲线C的方程,说出当x增大时，y怎样变化，


并指出反应了双曲线的形状具有什么特点.





一般地，如果双曲线C的标准方程是x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)，可得到双曲线的


几何性质为？


（1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围；


（2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线形状有什么联系，并尝试证明.





因为c>a>0,所以可以看出e>1，另外，注意到ba=c2-a2a=c2-a2a2 =e2-1


说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.


思考


(1)双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?


提示:双曲线的离心率e=ca反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.


(2)一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?


提示:1个.


如果双曲线C的标准方程是y2a2-x2b2=1 (a>0，b>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在x轴上的双曲线是有区别的？


二、典例解析


例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、


渐近线方程.











由双曲线的方程研究其几何性质的注意点


(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.


(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.


(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.


跟踪训练1 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.








例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.


(1)过点P(3,-5),离心率为2;


(2)与椭圆x29+y24=1有公共焦点,且离心率e=52;


(3)与双曲线x29-y216=1有共同渐近线,且过点(-3,23).








1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.


2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧


(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).


(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).


(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共焦点的双曲线方程可设为x2a2-λ-y2b2+λ=1(λ≠0,-b20,n>0),


由此可知,半实轴长a=m,


半虚轴长b=n,c=m+n,


焦点坐标为(m+n,0),(-m+n,0),


离心率e=ca=m+nm=1+nm,


顶点坐标为(-m,0),(m,0),


所以渐近线方程为y=±nm x,即y=±mnmx.


例2 解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


∵e=2,∴c2a2=2,即a2=b2.①


又双曲线过P(3,-5),∴9a2-5b2=1,②


由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为x24-y24=1.


若双曲线的焦点在y轴上,


设其方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),


同理有a2=b2,③


5a2-9b2=1,④


由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为x24-y24=1.


(2)由椭圆方程x29+y24=1,知半焦距为9-4=5,


∴焦点是F1(-5,0),F2(5,0).


因此双曲线的焦点为(-5,0),(5,0).


设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),


由已知条件,有ca=52,a2+b2=c2,c=5,解得a=2,b=1.


∴所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.


(3)设所求双曲线方程为x29-y216=λ(λ≠0),


将点(-3,23)代入得λ=14,


∴双曲线方程为x29-y216=14,


即双曲线的标准方程为x294-y24=1.


跟踪训练2 解:(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=ca=53,


从而b=4,c=53a, 代入c2=a2+b2,得a2=9,


故双曲线的标准方程为x29-y216=1.


(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,


故可设其方程为x264-y216=λ(λ>0),


将点(2,0)的坐标代入方程得λ=116,


故所求双曲线的标准方程为x24-y2=1.


达标检测


1.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m0,b>0),


则a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a2=4,b2=1,


∴双曲线C2的标准方程为x24-y2=1.


(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,


由y=2x,y=x+m,可得x=m,y=2m,∴A(m,2m).


由y=-2x,y=x+m,可得x=-13m,y=23m,


∴B-13m,23m.


∴OA·OB=-13m2+43m2=m2.


∵OA·OB=3,


∴m2=3,即m=±3.


标准方程
图形
性


质
范围
x≤-a或x≥a y∈R
y≤-a或y≥a x∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;


虚轴:线段B1B2,长:2b;


半实轴长:a,半虚轴长:b
渐近线
y=±ba x
y=±ba x
离心率
a,b,c间的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

双曲线
椭圆
曲线
两支曲线
封闭的曲线
顶点
两个顶点
四个顶点
轴
实、虚轴
长、短轴
渐近线
有渐近线
无渐近线
离心率
e>1
0