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初二数学上册秋季班培优讲义 第4讲 辅助线添加初步和倍长中线
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辅助线添加初步和倍长中线
模块一 辅助线添加初步
模块二 倍长中线
模块一 辅助线添加初步
1．添加辅助线的目的：凸显和集散
2．添加辅助线的基本作图方法：
（1）连接两点：连接**；
（2）作延长线：延长**交**的延长线于*；
（3）作平行线：过点*，作**的平行线，与**交于点*；
（4）作垂线：过点*，作**的垂线，垂足为*；
模块二 倍长中线
1．作法：
延长**到*，使**＝**，连接**；
如图，在三角形ABC中，AM为中线，则延长AM到点T，使，连接BT(CT)．
2．目的：
产生一对SAS的全等三角形，得到对应边相等，对应角相等．
3．两个重要总结：
（1）倍长中线不重要，重要的是倍长过中点的线．
如图，在三角形ABC中，M点为BC的中点，N点为AC上任意一点，则延长NM到点T，使TM=NM，连接BT．
（2）倍长中线后，连接哪个点不重要，重要的是构造二次全等．
我们在小学已经学过，有两条边相等的三角形的是等腰三角形，等腰三角形中有条重要的性质：等边对等角，等角对等边．
（1）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．
（2）已知：如图2，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．
图1 图2
【解析】（1）作AD垂直BC于点D，则(HL)，∴∠B=∠C．
（2）作AD垂直BC于点D，则(AAS)，∴AB=AC．
【教师备课提示】通过这道题可以讲解辅助线的作用．
（1）如图1-1，已知，，，求证：．
（2）如图1-2，，，，点F是CD的中点．求证：．
图1-1 图1-2
【解析】（1）连接CD，
和中
，，
（2）连接AC、AD，
，，，
，，
点F是CD的中点，，
，，
，
，．
【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——连接两点．
在凸五边形中，，，，M为CD中点．求证：．
【解析】延长AB，AE，交直线CD于F，G．
∵，∴．
∵，∴．
∴在与中
∴，
∴．，∴，
∵，∴，
∴在与中
∴，∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——作延长线．
如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点．
（1）如图3-1，当时，四边形OMBN的面积为_______________；
（2）如图3-2，当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论．
图3-1 图3-2
【解析】（1）；
（2）不会．
解法一：过O点作于P，于Q，
∵ABCD是正方形，O是对角线交点，
∴，
∵于P，于Q，
∴，∴，
∵OEFG是正方形，∴，
∴，∴，
∴．
解法二：连接OA、OB，
∵ABCD是正方形，O是对角线交点，
∴，，
∵，∴，
又，
∴，
∴．
【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——作垂线，当然连接两点也可以．
如图，中，，E在AB上，F在AC延长线上，且．求证：D是EF的中点．
【解析】解法一：过E点作EM//AC交BC于M．
，，
，，
，，，
，，
在和中，
，
，
，D是EF的中点．
解法二：过F点作FN//AB交BC的延长线于N．
，，
，，
，，
在和中，
，
，，是EF的中点．
解法三：分别过E、F作BC的垂线，垂足分别为G、H．
，，
，，，
在和中，
，
，．
在和中，
，
，，是EF的中点．
【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——作平行线．
已知：中，，AM是中线．求证：．
【解析】如图所示，延长AM到E，使，连接CE，
利用SAS证得，
∴，中，，
∴，
∴．
【教师备课提示】这道题作为倍长中线的引入，梳理作法和过程．
如图，在中，AD平分，E、F分别在BD、AD上，，．求证：EF//AB．
【解析】延长AD到M，使，连接EM，
在和中
，
∴，∴，，
又，∴，∴，∴，
∵AD平分，∴，∴，∴EF//AB．
已知AD为的中线，在AB上有一点E，AC上有一点F，连接DE、DF，且，求证：．
【解析】延长FD到N，使，连接BN、EN．
易证，∴，
又∵，
利用SAS证明，∴，
在中，，∴．
【教师备课提示】例6和7这两道题主要讲解倍长中线不重要，重要的是倍长过中点的线．
在中，，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使．求证：．
【解析】延长CE到F，使，连接BF．
∵CE是AB的中线，∴．
在和中
，
∴，∴，，
∴
在和中
，
∴，∴．
在中，分别以AB、AC为边长，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，M为BC中点，求证：（1）；（2）．
【解析】延长AM到N，使，连接NC，延长MA交EG于点P．
在和中，
∴，
∴，，∴AB∥NC，
∴，又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
又∵，
∴，∴．
【教师备课提示】例8和例9这两道题主要讲解倍长中线后连接哪点不重要，重要的是构造二次全等，例9可以看成婆罗摩笈多定理的应用，请老师自行拓展．
（1）如图1-1，在四边形ABCD中，，，求证：．
（2）如图1-2，，，求证：．
图1-1 图1-2
【解析】（1）连接BD，，，
在和中
，．
（2）连接AB，
在与中
，．
如图2-1，已知中，，，把一块含角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．直线DE交直线AB于M，直线DF交直线BC于N．
（1）在图2-1中，①证明；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2-2的位置，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图2-3的位置，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
图2-1 图2-2 图2-3
【解析】（1）①在中，，．
，．
连接BD，．
，
．．．
（另：也可证明）
②四边形DMBN的面积不发生变化；
由①知：，
∴．
∴．
（2）仍然成立，
证明：连结DB．
在中，∵，，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．∴．
（3）．
（注意：作垂线也可以）
在中，AD是BC边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的取值范围．
【解析】（1）延长AD到点E，使得，连接CE．
∵AD是BC边上的中线，∴，
在和中，，
∴，∴，
在中，，即．
（2）由（1）得，，
即，得．
如图，已知在中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，，求证：．
【解析】延长AD到G，使，连接BG．
∵，，，
∴，
∴．，
又∵，∴，
∴，∴，∴．
如图所示，，M是BE的中点，，．
求证：（1）；（2）．
【解析】如图所示，延长AM到点F，
使得，连接BF交AD，
于点N，交CD于点O．
设AM的延长线交DC于H，
易得，
则，，
从而，．
而，，
故，
从而，
故，．
而，
故，亦即．
