初二数学上册秋季班培优讲义 第6讲 角平分线的性质、判定和模型

角平分线的性质、判定和模型

  模块一  角平分线的性质和判定

   模块二  角平分线模型

模块一  角平分线的性质和判定

模块二  角平分线模型

模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形．

模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形．

→

模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．

（1）如图，在中，，AD是角平分线，，，，则__________．

（2）（14—15年嘉祥期末）在中，，，，，若点P是的三条角平分线的交点，则点P到边BC的距离是_____________．

【解析】（1）8cm；

（2）1（提示：过点P作三边的垂线，利用面积进行求解）．

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的性质．

（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．

（2）（14年—15年金牛区期末）如图，的外角一平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若，则____________．

【解析】（1）如图，在中，

设、的平分线的交点为I，

过I点作于D，于E，

于F，连接IC．

∵AI、BI都是角平分线，

∴，，

∴，

∴CI是的平分线，

∴三角形三个角的平分线交于一点．

（2）50°（提示：过点P向三边作垂线，证明AP是的外交角平分线）

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的判定，结合角平分线的性质．

（1）如图3-1，在中，BD、CD分别平分和，．如果，则的周长为__________．

（2）（14—15年武侯区期末）如图3-2，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________．

（3）（15—16年武侯期末）如图3-3，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①；②；③；④ ，其中正确的结论有_____________（只填序号）

图3-1                    图3-2                      图3-3

【解析】（1）6；（2）3cm；（3）①③④．

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线加平行线必出等腰三角形的模型．

（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________．

（2）如图4-2，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________．

图4-1                                图4-2

【解析】（1）5；

（2）4cm；4cm．

过E作EH垂直BC交BC于H点，

易证；

由角度分析易知，

即，则有；

又可证，

则，

则，．

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．

如图，在中，，，．求证：．

【解析】过D作于，

∵，，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，∴．

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线第一种辅助线．

如图所示，在中，，，BE平分，．
求证：．

【解析】延长CE、BA相交于F，

在和中，

∴

∴

∵，∴

同理，∴ 

在和中，

∴

∴，∴．

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的第二种辅助线．

（14—15年嘉祥月考）如图，在中，，AD、CE分别平分、，AD、CE交于O．（1）求的度数；（2）求证：．

【解析】（1）；

（2）在AC上截取AT，使，连接OT，

在和中，

∴，∴，∴

在和中，

∴，∴，

∴．

【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的第三种辅助线，同时可以得出．

已知等腰，，的平分线交AC于D．求证：．

【解析】解法一：如图，在BC上截取，连接DE，

过D作DF//BC，交AB于F，则，．

又∵，∴，故．

显然FBCD是等腰梯形．

∴，．

∵，

，

∴，

∴，∴，．

又∵，∴．

解法二：如图，延长BD到E，使，在BC上截取．

∵，BD为公共边，∴，，．

∵，

∴．

∴，故，．

∵，∴．

∴，．

∵，

∴．∵，∴，

故．∴，故．

∵，∴．

解法三：如图，延长BD到E，使．

延长BA到F，使．连接CE、EF、DF．

∵，BD公共，∴ ．

∴，．

又∵，

，∴．

∵，．∴，

∴．

而．

∴．又FD公共，∴．

∴．∴．

【教师备课提示】这道题结合截长补短，较难，实际上可以看成是上道题．

（14—15年育才期末、嘉祥半期）如图，中，，，，垂足为D，AE平分，交BC于点E．在外有一点F，使，．

（1）求证：；

（2）在AB上取一点M，使，连接MC，交AD于点N，连接ME．

求证：①；②．

【解析】（1）由题意得，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴．

（2）①作于点T，则，

∴，，

∴，，，

∴

②由①得，，，

∴AD//ME，∴，

∴，∴CM平分，

即，

在和中，

∴

∴．

【教师备课提示】这道题主要是综合考查角平分线的模型．

（1）如图1-1，的周长是，OB，OC分别平分和，于D，且，求的面积．

（2）如图1-2，的、的外角平分线交于点D．求证：AD是的平分线．

图1-1                                  图1-2

【解析】（1）∵O点为的两内角平分线的交点，

∴O点到三边距离相等．

∴

．

（2）分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，

垂足分别为E、F、G，

∵BD平分，，，

∴．
同理，
∴，
∴点D在平分线上，
∴AD是的平分线．

（1）（14—15年青羊区期末）如图2-1，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为_____．

（2）如图2-2，BD平分，CD平分外角．DE//BC交AB于E，交AC于F．线段EF与BE、CF有什么关系?

图2-1                                   图2-2

【解析】（1）9；

（2）如图所示中仍有两个等腰三角形、，

从而，，又，故．

如图，在四边形ABCD中，，的角平分线AE交DC于E，BE是的角平分线．求证：（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴

∴，∴．

（2）在AB上截取AF，使，连接EF，

在和中，

∴

∴，

∵，∴

∵，∴ 

在和中，

∴，

∴，∴，

∴．

如图所示，在中，，，．求证：．

【解析】延长BE交AC于M．

∵，，

∴，，，

∴，，

又∵，，

∴，

∴，∴，

∴．

如图，中，，，BD平分交AC于D点．求证：．

【解析】方法一：在BC上截取E点使，连结DE．

∵BD平分，∴．

在与中

∵，，，

∴，∴，

∵，∴，∴．

又∵，

∴，∴，∴，

∵，∴．

方法二：如图，延长CA到F，使，连结BF．

∵，且，

∴．

∵，∴．

∴．∴．

∵，

∴．又∵,

∴．

∴．∴．

如图，中，，，垂足为D．AF平分，交CD于点E，交CB于点F．

（1）求证：．

（2）将图6-1中的沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图6-1                                     图6-2

【解析】（1）相等

（2）如图，过点E作于G．

又∵AF平分，，∴．

由平移的性质可知：，∴．

∵．∴，

∵于D．∴∴,

在与中，

∵，，，

∴，∴，

由（1）可知．