初二数学上册秋季班培优讲义 第7讲 母子型和辅助线添加初步

K字型全等和母子型

  模块一  K字型全等

   模块二  母子型

模块一  K字型全等

如图，，，，且，则有．

模块二  母子型

1．等边三角形

2．正方形（等腰直角三角形）

（15—16年成华期末）在中，，，直线l经过点C，且于点D，于点E．

（1）当直线l绕点C旋转到图1-1位置时，求证：①，②；

（2）当直线l绕点C旋转到图1-2位置时，求证：；

（3）当直线l绕点C旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD、BE、DE之间满足的等量关系．

图1-1                       图1-2                       图1-3

【解析】（1）①∵，，∴．

∴．

∵，∴．∴．

∵，∴．

②∵，∴，．

∵，∴．

（2）∵，，∴．

∴．

∵，∴．∴．

∵，∴．

∴，．

∵，∴．

（3）．

【教师备课提示】这道题主要让孩子们熟悉模型并熟练过程．

（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，AE交BD于F，过F作交BC于H，连接AH．

（1）过点F分别作AB、BC的垂线，垂足分别为M、N，求证：；

（2）过点H作，垂足为G，试求FG和BD的数量关系．

【解析】（1）证明，

∴．

（2）作于点T，则，

∴．

（嘉祥）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，EG与HA的延长线交于点M，求证：AM是的中线．

【解析】过点E作的延长线于P，过点G作于Q，

，，

，

，

在和中，

，

，，

同理可得，，

在和中，

，

，

，是的中线．

【教师备课提示】例题2和例题3主要讲解构造K字型全等，让孩子们熟悉模型．

如图，CD是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线CD上两点，且．

（1）若直线CD经过的内部，且E、F在直线CD上，请解决下面两个问题：

①如图4-1，若，，则BE_____CF；EF_____（填“＞”、“＜”、“=”）；

②如图4-2，若，请添加一个关于与关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．

（2）如图4-3，若直线CD经过的外部，，请提出EF、BE、AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

图4-1                      图4-2                     图4-3

【解析】（1）①=；=；

②，先证明，再证明．

（2）．

【教师备课提示】这道题主要讲解K字型全等的变式题．

如图，点C为线段AB上一点，、是等边三角形．请你证明：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）为等边三角形；

（5）．

【解析】（1）、是等边三角形，

，，

又，，．

（2）由（1）得，，．

（3）过点C作AF和BF的垂线，利用角平分线的判定，即可．

（4）由易推得，

所以，又，进而可得为等边三角形．

（5）由（4）得，为等边三角形，，．

【教师备课提示】这道题主要考查等边三角形的母子型．

（14—15年成外）已知，在中，，．

（1）如图6-1，若EC，DB分别平分、，交AD，AE于点C、B，连接BC．请判断AB、AC是否相等，并说明理由；

（2）的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD和BE相交于O，请判断线段BE与CD的位置关系与数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若，试求四边形CEDB的面积．

图6-1                               图6-2

【解析】（1），在和中

∴(ASA)，∴．

（2），且．

母子型，得到，

通过倒边倒角得到，且．

（3）18（提示：对角线互相垂直的四边形的面积可以为对角线乘积的一半）．

【教师备课提示】这道题主要考查等腰直角三角形的母子型．

如图7-1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有，．

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图7-2的位置时，，是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED绕D旋转到B、D、G在一条直线（如图7-3）上时，连接CE，设CE分别交AG、AD于P、H，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

图7-1                  图7-2                       图7-3

【解析】（1），成立．

四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，

，，．

．

，，

延长CE交AG于点T，则，

，

又，，即．

（2）同（1）可得，，

，，

，，．

．，即．

【教师备课提示】这道题主要考查正方形的母子型，在正方形母子型当中最重要的就是垂直相等结论．

（15年西川半期）如图8-1，在和中，，，，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，点M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：；

（2）求证：是等腰三角形；

（3）在图8-1的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，使D点落在线段AB上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论．

图8-1                               图8-2

【解析】（1）∵，

∴，

在和中，

∴(SAS)

∴．

（2）由（1）得，(SAS)

∴，即．

又点M，N分别为BE，CD的中点，　　

∴．

在和中，

∴(SAS)　　

∴．

∴是等腰三角形．

（3）仍成立，有，是等腰三角形（同理可得）

【教师备课提示】这道题主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子们是否理解母子型全等的本质．

在中，，直线l经过点A.

（1）如图1-1，，，，垂足分别为D、E．探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，直接写出你的结论．

（2）如图1-2，将（1）中“，，”改为“”，探究BD、CE、DE三者之间的数量关系，证明你的结论．

图1-1         图1-2

【解析】（1）；

（2），证明即可．

如图，在中，，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．

【解析】，理由如下：

∵，

，

∴，

又∵，，

∴．

如图，B、C、E三点在一条直线上，和都为等边三角形，连接AE、DB．

（1）试说出的理由．

（2）如果把绕C点顺时针旋转一个角度，使B、C、E不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）

（3）在（2）中若AE、BD相交于P，求的度数．

【解析】（1）∵、都为等边三角形，

∴，，，

∴，

即，

∵在与中：

∴，

∴；

（2）仍然成立；

（3）∵，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴

，

即．

以点A为顶点作两个等腰直角三角形（，），如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．

（1）说明；

（2）延长BD，交CE于点F，求的度数；

（3）若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．

图4-1                                  图4-2

【解析】（1）∵、是等腰直角三角形，

∴，，，

∵在和中，

，

∴，∴；

（2）∵，

∴，

而在中，，

又∵，

∴；

（3）成立，且两线段所在直线互相垂直，即．理由如下：

∵、是等腰直角三角形

∴，，，

∵，

∴，

∵在和中，，

∴

∴，，

∴．

如图5-1，等边中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边，连接AE．

（1）求证：AE//BC；

（2）如图5-2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

图5-1                                   图5-2

【解析】（1）∵，

∴，

即，

∵和是等边三角形，

∴，，

在与中，，

∴，∴，

∴，∴AE//BC；

（2）成立，证明如下：

同（1）可得，，∴，

∴，∴AE//BC．

如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：（1）；（2）．

【解析】，，

在和中

，

，

设AE分别与DG、CG交于M、N

则，，．