人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）综合训练题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。



一、选择题


1．下列函数不存在零点的是( )


A．y＝x－eq \f(1,x) B．y＝eq \r(2x2－x－1)


C．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1 x≤0，,x－1 x＞0)) D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1 x≥0，,x－1 x＜0))


解析：令y＝0，得A中函数的零点为1，－1；B中函数的零点为－eq \f(1,2)，1；C中函数的零点为1，－1；只有D中函数无零点．


答案：D


2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )


A．0,2 B．0，eq \f(1,2)


C．0，－eq \f(1,2) D．2，－eq \f(1,2)


解析：∵2a＋b＝0，


∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．


∴零点为0和－eq \f(1,2).


答案：C


3．函数f(x)＝πx＋lg2x的零点所在区间为( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,4)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


解析：因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \f(π,4)＋lg2eq \f(1,4)＜0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(π,2)＋lg2eq \f(1,2)＞0，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＜0，故函数f(x)＝πx＋lg2x的零点所在区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))).


答案：A


4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )


A．[－1,0) B．[0，＋∞)


C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)


解析：本题主要考查函数的零点及函数的图象．


g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点等价于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0))与h(x)＝－x－a的图象存在2个交点，如图，





当x＝0时，h(0)＝－a，由图可知要满足y＝f(x)与y＝h(x)的图象存在2个交点，需要－a≤1，即a≥－1.故选C.


答案：C


二、填空题


5．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．


解析：方法一 ∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，


f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，


又 f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上的图象是连续的，


故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．


方法二 令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，


∴(x－6)(x＋3)＝0.


∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，


∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．


答案：存在


6．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x＞0))零点的个数为________．


解析：x≤0时，令x2＋2x－3＝0，


解得：x＝－3.


x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，


f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0，


∵f(1)f(e3)＜0，


∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．


总之，f(x)在R 上有2个零点．


答案：2


7．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．


解析：由题意f(1)·f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0.∴－2＜a＜0.


答案：(－2,0)


三、解答题


8．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．


(1)f(x)＝eq \f(x＋3,x)；


(2)f(x)＝x2＋2x＋4；


(3)f(x)＝2x－3；


(4)f(x)＝1－lg3x.


解析：(1)令eq \f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq \f(x＋3,x)的零点是－3.


(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，


所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点.


(3)令2x－3＝0，解得x＝lg23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是lg23.


(4)令1－lg3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－lg3x的零点是3.


9．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝lgn(mx＋1)的零点．


解析：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.


则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．


可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝－3m＋1，,1×2＝n，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝2.))


所以函数y＝lgn(mx＋1)的解析式为


y＝lg2(－2x＋1)，要求其零点，令


lg2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.


所以函数y＝lg2(－2x＋1)的零点为0.


[尖子生题库]


10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．


(1)零点均大于1；


(2)一个零点大于1，一个零点小于1；


(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．


解析：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a2－16≥0，,f1＝5－2a＞0，,a＞1，))解得2≤a＜eq \f(5,2).


即a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))).


(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞eq \f(5,2).


即a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)).


(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝4＞0，,f1＝5－2a＜0，,f6＝40－12a＜0，,f8＝68－16a＞0，))


解得 eq \f(10,3)＜a＜eq \f(17,4).


即a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，\f(17,4))).