高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试精品学案

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一.集合间的基本关系


集合间的基本运算的关键点


(1)∅：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.


(2)端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题.


提醒：求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到.


[训练1] 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}则( )


A.A＝B B.A∩B＝∅


C.AB D.BA


D [B中的元素都在A中，所以BA.]


[训练2] 已知全集U＝R，A＝{x|3x－7≥8－2x}，B＝{x|x≥m－1}.


(1)求∁UA；


(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.


解 (1)因为A＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，


又全集U＝R，所以∁UA＝{x|x＜3}.


(2)因为B＝{x|x≥m－1}，且A⊆B，


所以m－1≤3，即m≤4，


所以实数m的取值范围是{m|m≤4}.


二.集合的基本运算


集合基本运算的关注点


(1)看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.


(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.


(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.


[训练3] 设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于( )


A.{1,4} B.{1,5}


C.{2,5} D.{2,4}


D [U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以∁U (A∪B)＝{2,4}.]


[训练4] 设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数.


(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)；


(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.


解 (1)因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，


所以∁UB＝{x|x≤2，或x≥4}，所以A∩B＝{x|2＜x≤3}，


A∪(∁UB)＝{x|x≤3，或x≥4}.


(2)因为B∩C＝C，所以C⊆B，


因为B＝{x|2＜x＜4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，


若C＝∅，则a＋1＜a，无解，所以C≠∅，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＜a,a＋1＜4))，所以2＜a＜3.


三.集合新定义问题


解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点


(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质搞清楚.


(2)寻找特殊元素，解题时要善于发现试题中可以使用集合性质的特殊元素，用好集合的性质.


[训练5] 若集合A具有以下性质：


(1)0∈A,1∈A；


(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，eq \f(1,x)∈A.


则称集合A是“好集”.下列命题正确的个数是( )


①集合B＝{－1,0,1}是“好集”；


②有理数集Q是“好集”；


③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.


A.0 B.1


C.2 D.3


C [①集合B不是，因1－(－1)＝2不在集合B中.②③对.]


[训练6] 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素的和为( )


A.0 B.2


C.3 D.6[来源:学。科。网]


D [x的取值分别是1,2，y的取值分别是0,2，则z＝0,2,4，集合A*B 3个元素的和为6.]


四.全称量词与存在量词


全称量词与存在量词、全称量词命题与存在量词命题的否定


(1)全称量词命题强调任意性：全称量词命题“∀x∈M, p(x)”强调集合M中任意元素x都具有性质p(x).因此：


①要证明全称量词命题是真命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；


②要判断全称量词命题是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.


(2)存在量词命题强调存在性：存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”强调集合M中存在一个元素x0具有性质p(x).因此：


①要判断存在量词命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；


②要证明它是假命题，需对集合M中的每一个元素x，证明p(x)不成立.


[训练7] 若命题“∃x0∈R，axeq \\al(2,0)＋x0－1>0(a≠0)”是假命题，则实数a的取值范围是( )


A.a<－eq \f(1,4) B.a>－eq \f(1,4)且a≠0


C.a≥－eq \f(1,4)且a≠0 D.a≤－eq \f(1,4)


D [由题意知“∀x∈R，ax2＋x－1≤0”为真命题，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝1＋4a≤0，))得a≤－eq \f(1,4).]


[训练8] 写出下列命题的否定，并判断其真假：


①p：不论m取何实数值，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；


②p：有的三角形的三条边相等；


③p：菱形的对角线互相垂直；


④p：∃x0∈N，xeq \\al(2,0)－2x0＋1≤0.


解 ①¬p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根.


因为该方程的判别式Δ＝meq \\al(2,0)＋4>0恒成立，所以¬p为假命题.


②¬p：所有的三角形的三条边全不相等.


显然¬p为假命题，如等边三角形.


③¬p：有的菱形的对角线不垂直.


显然¬p为假命题.


④¬p：∀x∈N，x2－2x＋1>0.


显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故¬p是假命题.


五.充分条件与必要条件的判定


条件的充要关系的常用判断方法


(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.


(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.


(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.


[训练9] 设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[来源:Z|xx|k.Cm]


B [因为x2－3x>0x>4，x>4⇒x2－3x>0，


故“x2－3x>0”是“x>4”的必要不充分条件.]


[训练10] 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


C [因为a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0，所以“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件.]








1.命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是( )


A.有些三角形不是等腰三角形


B.所有三角形是等边三角形


C.所有三角形不是等腰三角形


D.所有三角形是等腰三角形


C [¬p是“所有三角形不是等腰三角形”.]


2.若集合A＝{x|x2－7x＜0，x∈N*}，则B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,y)∈N*，y∈A))))中元素的个数为( )


A.3个 B.4个


C.1个 D.2个


B [A＝{x|0＜x＜7，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3,6}，所以B中共有4个元素.]


3.设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )


A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件


C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件


D [“a＞b”推不出“a2＞b2”，例如，2＞－3，但4＜9；“a2＞b2”也推不出“a＞b”，例如，9＞4，但－3＜2.]


4.下列说法中，正确的个数是( )


①存在一个实数x，使－2x2＋x－4＝0；


②所有的素数都是奇数；


③至少存在一个正整数，能被5和7整除.


A.1 B.2


C.3 D.4


A [①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确.]


5.已知p：0＜x＜1，那么命题p的一个充分条件是( )


A.1＜x＜3 B.－1＜x＜1


C.eq \f(1,3)＜x＜eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)＜x＜5


C [运用集合的知识，易知只有C中由eq \f(1,3)＜x＜eq \f(3,4)可以推出0＜x＜1，其余均不可.]


6.已知集合A＝{(x，y)|x＋2y－4＝0}，集合B＝{(x，y)|x＝0}，则A∩B＝( )


A.{0,2} B.{(0,2)}


C.(0,2) D.∅


B [集合A表示的是直线x＋2y－4＝0上的所有点的集合，集合B表示直线x＝0上所有点的集合，所以A∩B表示两条直线的交点构成的集合，而直线x＋2y－4＝0与直线x＝0的交点为(0,2)，所以A∩B＝{(0,2)}.]


7.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))≠∅，则( )


A.k＜0或k＞3 B.2＜k＜3


C.0＜k＜3 D.－1＜k＜3


C [由题意得∁UA＝{x|1＜x＜3}，借助于数轴可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋1＞1，,k＜3))所以0＜k＜3.]


8.(多空题)已知方程ax2＋x＋b＝0，若方程的解集为{1}，则实数a，b的值分别为________、________.


－eq \f(1,2) －eq \f(1,2) [方程的解为1，代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋1＝0，,Δ＝1－4ab＝0，))所以a＝b＝－eq \f(1,2).]


9.命题“∃x∈{x|x＞0}，使eq \r(x)＜x”的否定为________命题.(填“真”或“假”)


假 [“∃x∈{x|x＞0}，使eq \r(x)＜x”为真命题，则其否定为假命题.]


10.已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝________.


{2,3,4} [由(∁UA)∩B＝{2}，得2∈B且2∉A，由(∁UB)∩A＝{4}，得4∈A且4∉B，分别代入得42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0，所以p＝－7，q＝6，所以A＝{3,4}，B＝{2,3}，所以A∪B＝{2,3,4}.]


11.已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.


(1)求A∪B，(∁UA)∩B；


(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.


解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}.


因为∁UA＝{x|x＜2，或x＞8}，


所以(∁UA)∩B＝{x|1＜x＜2}.


(2)因为A∩C≠∅，作图可知a在8左边即可.


所以a＜8.





12.写出下列命题的否定与否命题，并判断其真假性.


(1)末位数是0的整数，可以被5整除；


(2)负数的平方是正数；


(3)梯形的对角线相等.


解 (1)命题的否定：有些末位数是0的整数，不可以被5整除；假命题.


否命题：末位数不是0的整数，不可以被5整除；假命题.


(2)命题的否定：有些负数的平方不是正数；假命题.


否命题：非负数的平方不是正数；假命题.


(3)命题的否定：有些梯形的对角线不相等；真命题.


否命题：如果一个四边形不是梯形，则它的对角线不相等；假命题.


13.设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的取值范围.


解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}.


因为A∪B＝A，所以B⊆A，


所以B可能为∅，{1}，{2}，{1,2}，


因为Δ＝(－a)2－4(a－1)＝(a－2)2≥0，所以B≠∅，


又因为x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，


所以B中一定有1，


所以a－1＝1或a－1＝2，即a＝2或a＝3.


经验证a＝2，a＝3均满足题意，


又因为A∩C＝C，所以C⊆A.


所以C可能为∅，{1}，{2}，{1,2}.


当C＝∅时，方程x2－mx＋2＝0无解，


所以Δ＝m2－8＜0，所以－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2).


当C＝{1}时，m无解；当C＝{2}时，m也无解；当C＝{1,2}时，m＝3.


综上所述，a＝2或a＝3，－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2)或m＝3.