高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试优秀学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试优秀学案及答案，共6页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．设集合A＝{x|1≤x≤5}，则集合A∩Z中元素的个数是( )


A．6 B．5 [来源:学#科#网]


C．4 D．3


B [A∩Z＝{1,2,3,4,5}，所以元素的个数为5.]


2．下列存在量词命题是假命题的是( )


A．存在x∈Q，使2x－x3＝0


B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0


C．有的素数是偶数


D．有的有理数没有倒数


B [对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0恒成立．]


3．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )


A．0∈A B．{1}∈A


C．∅⊆A D．{0,1}⊆A


B [{1}与A均为集合，而“∈”用于表示元素与集合的关系，所以B错误，其正确的表示应是“{1}⊆A”．]


4．已知集合A＝{x|2x－3＜3x}，B＝{x|x≥2}，则( )


A．A⊆B B．B⊆A


C．A⊆∁RB D．B⊇∁RA


B [A＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，所以B⊆A．]


5．“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


B [由x(2x－1)＝0，得x＝0或x＝eq \f(1,2)，故x(2x－1)＝0⇒/x＝0一定成立，而x＝0⇒x(2x－1)＝0成立，


所以“x(2x－1)＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．]


6．已知集合U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|－3≤x≤3}，则(∁UA)∩B＝( )


A．{x|－3≤x≤4}


B．{x|－2≤x≤3}


C．{x|－3≤x≤－2或3≤x≤4}


D．{x|－2≤x≤4}


B [∁UA＝{x|－2≤x≤4}．由图，知(∁UA)∩B＝{x|－2≤x≤3}．


]


7．设集合I＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))，A⊆I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))的配集有( )


A．1个 B．2个


C．3个 D．4个


D [M可以是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，3))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))，共4个．]


8．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )


A．锐角三角形的内角是锐角或钝角


B．至少有一个实数x，使x2≤0


C．两个无理数的和必是无理数


D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)＞2


B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为eq \r(3)＋(－eq \r(3))＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有eq \f(1,x)＜0，所以D是假命题．]


9．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )





A [如图所示：A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．


]


10．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UC))”是“A∩B＝∅”的( )


A．充要条件 B．必要不充分条件


C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件


A [若存在集合C，使得A⊆C，B⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UC))，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C同时满足A⊆C，B⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UC)).[来源:ZXXK]





故“存在集合C，使得A⊆C，B⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UC))”是“A∩B＝∅”的充要条件．]


11．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )


A．18个 B．17个


C．16个 D．15个


B [因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,1×16＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有8×2＋1＝17(个)．]


12．如果不等式|x－a|＜1成立的充分但不必要条件是eq \f(1,2)＜x＜eq \f(3,2)，则实数a的取值范围是( )


A．eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2) B．eq \f(1,2)≤a≤eq \f(3,2)


C．a＞eq \f(3,2)或a＜eq \f(1,2) D．a≥eq \f(3,2)或a≤eq \f(1,2)


B [由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋1.由题意知：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1≤\f(1,2)，,a＋1≥\f(3,2)，))(等号不能同时成立)，即eq \f(1,2)≤a≤eq \f(3,2).]


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)


13．(多空题)已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________；若A∩B＝A，则实数m的取值范围是________.


[2，＋∞) (－∞，2] [因为A∪B＝A，即B⊆A，所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以实数m的取值范围为(－∞，2]．]


14．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.


{7,9} [U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁UA)∩B＝{7,9}．


]


15．命题“任意x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是____________.


存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0 [已知命题是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论，即命题的否定是：存在x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0.]


16．方程3x2－10x＋k＝0(k∈R)有相异的两个同号实根的充要条件是________.


0＜k＜eq \f(25,3) [设方程的两相异同号实根为x1、x2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝－102－4×3×k＞0,x1x2＝\f(k,3)＞0))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3k＜25,k＞0))，[来源:学§科§网]


所以0＜k＜eq \f(25,3).]


三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(10分)已知A＝{y|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x＋1}．


求：①A∩B；②A∪B；③B∩(∁RA)．


解 由题意得A＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，B＝{y|y＝x＋1}＝R.


①A∩B＝[1，＋∞]∩R＝[1，＋∞)，


②A∪B＝[1，＋∞]∪R＝R.


③因为A＝[1，＋∞)，


所以∁RA＝(－∞，1)，


所以B∩(∁RA)＝R∩(－∞，1)＝(－∞，1)．


18．(12分)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示，并判断其真假．


(1)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；


(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；[来源:学.科.网]


(3)存在实数x，使得eq \f(1,x2－x＋1)＝2.


解 (1)是存在量词命题，因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2＞0，所以“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题．


(2)是全称量词命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．


(3)是存在量词命题，用符号表示为“∃x∈R，eq \f(1,x2－x＋1)＝2”，是假命题．


19．(12分)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|2

解 因为A≠∅，所以3a＋1>2，即a>eq \f(1,3).


因为q是p的必要条件，所以A⊆B，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2,3a＋1≤a＋2))，解得eq \f(1,3)

综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)

20．(12分)设A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋2＝0}，B⊆A．


(1)写出集合A的所有子集；


(2)若B为非空集合，求a的值．


解 (1)由题可知A＝{1,2}，所以集合A的所有子集是∅，{1}，{2}，{1,2}．


(2)因为B是非空集合，


所以当集合B中只有一个元素时，由Δ＝0，得a2－8＝0，即a＝±2eq \r(2)，


此时B＝{eq \r(2)}或{－eq \r(2)}，不满足B⊆A．


当集合B中有两个元素时，由A＝B，得a＝3，


综上可知，a的值为3.


21．(12分)设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．


(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；


(2)若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求实数a的值；


(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值．


解 (1)因为A∩B＝A∪B，所以A＝B＝{2,3}，[来源:ZXXK]


即2和3是方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，则a＝5.


(2)由于B＝{2,3}，C＝{－4,2}，则由题意可知3∈A，


此时a2－3a－10＝0，则a＝5或a＝－2.验证可得a＝－2.


(3)因为A∩B＝A∩C≠∅，所以2∈A，则有a2－2a－15＝0，


即a＝5或a＝－3.


验证可得a＝－3.


22．(12分)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．


(1)求(∁IM)∩N；


(2)记集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．


解 (1)因为M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，


N＝{x|x2＋x－6＝0)＝{－3,2}，


所以∁IM＝{x|x∈R，且x≠－3}，


所以(∁IM)∩N＝{2}．


(2)A＝(∁IM)∩N＝{2}，


因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以B＝∅或B＝{2}，


当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；


当B＝{2}时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝2，,5－a＝2，))解得a＝3，


综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．