高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件精品第2课时2课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件精品第2课时2课时学案设计，共6页。







知识点 充要条件


1.一般地，如果p⇒q且q⇒/_p，则称p是q的充分不必要条件.


2.如果p⇒/_q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.


3.如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.


[微体验]


1.“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


B [|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.]


2.若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________.


充要条件 [因为p⇔q, q⇔r, 所以p⇔r, 所以p是r的充要条件.]


3.下列各题中，p是q的充要条件的是______(填序号).


(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；


(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c.


(2) [在(2)中，p⇔q，所以(2)中p是q的充要条件，在(1)中，p⇒q，qp，所以(1)中p不是q的充要条件.]








探究一 充要条件的判断


(1)“m＞eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的( )


A.充分不必要条件 B.充要条件


C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件


B [方程x2＋x＋m＝0无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞eq \f(1,4).]


(2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是( )


A.ab＝0 B.ab＞0


C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0


D [a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.]


[方法总结]


判断充要条件的解题思路以及注意事项


(1)思路：


充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样.


(2)注意事项：


①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性；


②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法；


③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等.


[跟踪训练1] 下列所给的p，q中，p是q的充要条件的是______.(填序号)


①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；


②p：|x|＞3，q：x2＞9.


①② [①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；


若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，


所以p是q的充要条件.


②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件.]


探究二 充要条件的证明


已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.


证明 先证必要性：因为a＋b＝1，


所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.


所以必要性成立.


再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，


即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，


所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.


又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0.


从而a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b,2)))2＋eq \f(b2,4)≠0.


所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.故充分性成立.


所以a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.


[方法总结]


充要条件的证明策略


(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真.


(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论.


[跟踪训练2] 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.


证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一负根.


所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.


充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根).


所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号.


即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.


综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.








1.充要条件的概念


既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件.


2.形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系


(1)p是q的充分不必要条件


(2)p是q的必要不充分条件


(3)p是q的充分必要条件


(4)p是q的既不充分又不必要条件


3.证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清证明必要性、充分性时是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性，B⇒A证明了充分性；“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性，B⇒A证明了必要性.








课时作业(八) 充分条件、必要条件(二)





1.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


C [在△ABC中，A＞B⇔a＞b.]


2.设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


C [由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故为充要条件.][来源:Z#xx#k.Cm]


3.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


A [当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数.]


4.已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p是q的( )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


B [x＋y＝－2⇒/x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件.]


5.已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B＝B，命题乙：AB，那么( )


A.甲是乙的充分不必要条件


B.甲是乙的必要不充分条件[来源:Z,xx,k.Cm][来源:]


C.甲是乙的充要条件


D.甲是乙的既不充分也不必要条件


B [因为命题甲：A∪B＝B，命题乙：AB.A∪B＝B⇒A⊆B，AB⇒A∪B＝B.所以甲是乙的必要不充分条件.]


6.“m＝9”是“m＞8”的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)


充分不必要 [当m＝9时，m＞8成立，但m＞8推不出m＝9，


所以m＝9是m＞8的充分不必要条件.]


7.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的________条件.


充要 [由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由于A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件.]


8.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.


3或4 [由判别式Δ＝16－4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4.逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2.]


9.已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.


证明 ①必要性：由eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0，即eq \f(y－x,xy)＜0，又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.[来源:学+科+网Z+X+X+K]


②充分性：由xy＞0及x＞y，得eq \f(x,xy)＞eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y).


综上所述，eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.


10.已知条件p：x＞a＋1或x＜1－a和条件q：x＜eq \f(1,2)或x＞1，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.


解 依题意a＞0.[来源:ZXXK]


要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq \f(1,2).


令a＝1，则p：x＜0，或x＞2，


此时必有x＜eq \f(1,2)，或x＞1.


即p⇒q，反之不成立.





1.函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是( )


A.m＝－2 B.m＝2


C.m＝－1 D.m＝1


A [因为y＝x2＋mx＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))2＋1－eq \f(m2,4)，


所以函数的图像的对称轴为x＝－eq \f(m,2)，由题意得－eq \f(m,2)＝1，所以m＝－2.]


2.设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，那么点P(2,3)∈(A∩B)的充要条件是( )


A.m＞－1，n＜5 B.m＜－1，n＜5


C.m＞－1，n＞5 D.m＜－1，n＞5


A [因为P(2,3)∈(A∩B)，所以满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×2－3＋m＞0，,2＋3－n＞0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞－1，,n＜5.))]


3.已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝________.


－1 [由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因为p是q的充要条件，所以a－1＝－2，即a＝－1.]


4.“k＞4，b＜5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的______________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)


充要 [当k＞4，b＜5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图像如图所示.





由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即当x＝0，y＝b－5＜0，所以b＜5.当y＝0时，x＝eq \f(5－b,k－4)＞0，因为b＜5，所以k＞4.故填“充要”.]


5.求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.


解 ①a＝0时适合.


②a≠0时显然方程没有零根.若方程有两异号的实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0,－\f(2,a)＜0，,Δ＝4－4a≥0))


解得0＜a≤1.


综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根.


因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.


6.(拓广探索)已知命题p：实数x满足－2≤x≤4；命题q：实数x满足－m≤x－2≤m(m＞0).


(1)当m＝3时，若命题p与命题q同时为假，求实数x的取值范围；


(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.


解 (1)若p假：x＜－2或x＞4；


当m＝3时，若q假，则x＜－1或x＞5，


因为若命题p与命题q同时为假，所以x＜－2或x＞5.


所以实数x的取值范围为x＜－2或x＞5.


(2)因为p是q的充分不必要条件.


q：2－m≤x≤2＋m，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m≤－2,4≤2＋m))，且等号不同时取得，


所以m≥4.


所以实数m的取值范围为{m|m≥4}.





课程标准
学科素养
通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.
通过对充要条件的学习，提升“逻辑推理”“数学抽象”的核心素养.