备战2025年高考数学二轮复习课件专题5统计与概率培优拓展（13）概率与数列

这是一份备战2025年高考数学二轮复习课件专题5统计与概率培优拓展（13）概率与数列，共19页。PPT课件主要包含了所以Xn的分布列为，所以X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
概率统计与数列的交汇涉及的知识广泛,内涵丰富,是近年来高考命题的热点,主要有以下类型:(1)求数列的通项公式;(2)证明数列是等比数列或等差数列;(3)与数列求和相结合;(4)利用等差数列、等比数列的性质,研究单调性、最值等.
角度一 概率与数列的证明、通项公式问题
例1(2024河北石家庄模拟)甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球,现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行n(n∈N*)次这样的操作,记第n次操作后,口袋甲中黑球的个数为Xn,恰有1个黑球的概率为pn.(1)求p1,p2的值;(2)证明: 是等比数列,并求pn的值(用n表示);(3)证明:Xn的数学期望E(Xn)为定值.
(1)解 设第n次操作后,口袋甲中恰有2个黑球的概率为qn,则恰有0个黑球的概率为1-pn-qn.
[对点训练1](2024山东聊城一模)如图,一个正三角形被分成9个全等的三角形区域,分别记作A,B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q,C3.一个机器人从区域P出发,每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域),且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域;(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率;(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.
解 (1)经过2秒机器人可能位于的区域为P,Q1,Q,经过3秒机器人可能位于的区域为A,B1,B2,C1,C2,C3.(2)若经过2秒机器人位于区域Q,则经过1秒时,机器人必定位于区域B2,
(3)机器人的运动路径为P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…,设经过n秒机器人位于区域Q的概率为Pn,则当n为奇数时,Pn=0.
当n为偶数时,由对称性可知,经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等,均为Pn,故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn.
角度二 概率与数列的求和问题
例2(2024黑龙江哈尔滨一模)为调查某地景区的客流量情况,现对某一时间段A景区的部分游客作问卷调查,经统计,其中75%的游客计划只游览A景区,另外25%的游客计划既游览A景区又游览B景区.为提高游客的旅游热情,景区将为游客发放文旅纪念品,每位游客若只游览A景区,则得到1份文旅纪念品;若既游览A景区又游览B景区,则获得2份文旅纪念品.假设每位游客游览A景区与是否游览B景区是相互独立的,用频率估计概率.(1)从A景区的游客中随机抽取3人,记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分布列及数学期望;(2)从A景区的游客中随机抽取n人,记这n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为an,求{an}的前n项和Sn;(3)从A景区的游客中随机抽取100人,这些游客得到纪念品的总个数恰为m个的概率为bm,当bm取最大值时,求m的值.
[对点训练2](2024江苏扬州模拟)某公司开发了一款学习类的闯关益智游戏,每一关的难度分别有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三级,并且下一关的难度与上一关的难度有关,若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ,则下一关的难度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为 ,若上一关的难度是Ⅲ,则下一关的难度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为 ,已知第1关的难度为Ⅰ.(1)求第3关的难度为Ⅲ的概率;(2)用Pn表示第n关的难度为Ⅲ的概率,求Pn;(3)设 (n≥2),记f(n)=a2+a3+…+an,且f(n)≥λ对任意n≥2,n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.