备战2025年高考数学二轮复习课件专题3数列培优拓展（8）数列中的增减项问题

这是一份备战2025年高考数学二轮复习课件专题3数列培优拓展（8）数列中的增减项问题，共19页。
数列中的增减项,是指由已知的数列通过插入项、剔除项或合并项等得到新的数列,再研究新数列的求和等问题,是高考命题的热点.解决此类问题的关键,是弄清楚新生成的数列与已知数列的关系,确定其特征,并根据题意和要求解题.
角度一 数列中的减项问题
例1已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn;数列{bn}是各项均为正数的等比数列,前n项和为Tn;且a2=b2=4,a8=b4=16.(1)分别求数列{an},{bn}的通项公式和前n项和Sn,Tn;(2)若将数列{an}中出现的数列{bn}的项剔除后,剩余的项从小到大排列得到数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Kn,求K2 021.
(2)将数列{an}中出现的数列{bn}的项剔除后,剩余的项从小到大排列得到数列{cn},∵b11=211=2 048a2 021=4 042,b12=212=4 096>a2 032=4 064,∴数列{cn}的前2 021项和需要从数列{an}的前2 032项和中剔除{bn}的前11项,∴K2 021=S2 032-T11=2 0322+2 032-212+2=4 126 962.
角度二 数列中的并项问题
例2设Sn为数列{an}的前n项和,a2=7,且对任意的自然数n,恒有an+3=(1)求数列{an}的通项公式;(2)若集合A={x|x=an,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{bn},记数列{bn}的前n项和为Tn,求T102的值.
可得n=1时,a1=2a1-3,解得a1=3;n=2时,2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6,解得a1=3;n=3时,3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9,解得a3=11.当n≥2时,由an+3= ,得nan=2Sn-3n,得(n-1)an-1=2Sn-1-3(n-1),两式相减可得(n-2)an=(n-1)an-1-3,当n≥3时,由上式得(n-3)an-1=(n-2)·an-2-3,上面两式相减可得an+an-2=2an-1,n≥3,且a1+a3=2a2,所以数列{an}是首项为3,公差为4的等差数列,所以an=3+4(n-1)=4n-1.
(2)因为集合A={x|x=4n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},所以集合A∪B中的所有元素的最小值为3,因为35=243