备战2025年高考数学二轮复习课件专题5统计与概率培优拓展（14）概率统计与函数、导数

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概率统计与函数、导数交汇问题也是高考命题的一个热点,属于综合性较强的试题,题目多以概率统计的实际应用为主体,在涉及求概率、期望的最值或范围问题时,需要用导数或函数的方法解决,难度较大.
角度一 概率统计与函数的综合
例1(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解 (1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035=3.5%.(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002, ∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
角度二 概率统计与导数的综合
例2(2024河南三门峡模拟)为了普及奥运知识,M大学举办了一次奥运知识竞赛,竞赛分为初赛与决赛,初赛通过后才能参加决赛.(1)初赛从6道题中任选2题作答,2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题,用X表示小王在初赛中答对的题目个数,求X的数学期望以及小王在已经答对1道题的前提下,仍未进入决赛的概率;(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下:已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次,中奖1次奖励120元,中奖2次奖励180元,中奖3次奖励360元,若3次均未中奖,则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p(0