备战2025年高考数学二轮复习课件专题3数列培优拓展（9）数列中的奇、偶项问题

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解数列中的奇、偶项问题,可以把一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.数列中奇、偶项问题的常见题型有:(1)数列中连续两项和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));(2)通项公式中含有(-1)n的类型;(3)含有{a2n},{a2n-1}的类型;(4)已知条件明确的奇、偶项问题.
角度一 通项中含有(-1)n的数列求和
例1已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且 +2an=4Sn,数列{bn}满足(1)求数列{bn}的前n项和Bn,并证明Bn+1,Bn,Bn+2是等差数列;(2)设cn=(-1)nan+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
角度二 奇、偶项通项不同的数列求和
例2(2023新高考Ⅱ,18)已知{an}为等差数列, 记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求{an}的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)]
针对训练(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}的通项公式为cn=an+(-1)n·(3bn+1),求数列{cn}的前n项和Tn.
(2)由(1)可得an=2n,bn=n,则cn=an+(-1)n·(3bn+1)=2n+(-1)n(3n+1),则数列{cn}的前n项和Tn=21+(-1)×(3+1)+22+(-1)2×(3×2+1)+…+2n+(-1)n(3n+1),当n为偶数,n∈N*时,Tn=(21+22+…+2n)+[(-1)×(3+1)+(-1)2×(3×2+1) +…+(-1)n(3n+1)].