数学选择性必修 第一册3.2 双曲线精品同步训练题

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知识点1 双曲线的几何性质
1、双曲线的几何性质
2、对双曲线离心率的理解
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
知识点2 等轴双曲线与共轭双曲线
1、等轴双曲线的性质
在双曲线中，若，则双曲线的长轴和短轴相等，即等轴双曲线，等轴双曲线的性质有：
（1）离心率：等轴双曲线的离心率为：；
（2）渐近线：等轴双曲线的渐近线为：；等轴双曲线的渐近线互相垂直，且斜率分别为45°和135°．
2、共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线时一对共轭双曲线．例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下：
（1）已对共轭双曲线有相同的渐进线；
（2）已对共轭双曲线有相同的焦距；
（3）共轭双曲线的渐近线与直线及的四个交点，以及双曲线的四个交点，八点共圆，圆心为坐标原点，半径为（半焦距）；
（4）由于，，则，可知共轭双曲线的离心率虽然不同，但离心率的倒数的平方和等于常数1．
知识点3 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系
将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程，
（1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点；
（2）当，即，设该一元二次方程的判别式为，
若，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若，直线与双曲线相离，没有公共点；
【注意】直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．
2、弦长公式：若直线与双曲线（，）交于，两点，
则或（）．
3、中点弦问题
与椭圆的解题策略一样，既可以联立直线与双曲线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系求解，也可以用点差法建立斜率与中点坐标的等式关系求解
1、双曲线渐近线求法
（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．
（2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．
（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．
2、求双曲线方程的巧设方法
（1）焦点在轴上的双曲线的标准方程可设为；
（2）焦点在轴上的双曲线的标准方程可设为；
（3）与双曲线共焦点的双曲线方程可设为；
（4）与双曲线具有相同渐近线的方程可设为；
（5）渐近线方程为的双曲线方程可设为；
（6）渐近线方程为的双曲线方程可设为．
3、求双曲线离心率的常用方法
（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；
（2）利用求：若已知，则直接利用得解；
（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．
题型一 由双曲线方程研究几何性质
【例1】（23-24高二上·江苏盐城·月考）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9B．－9C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线，可得，且，
因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得，即，解得.故选：C.
【变式1-1】（23-24高二上·福建漳州·月考）若双曲线经过点，且一渐近线方程是，则这条双曲线的虚轴长（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】由题意知，设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，所以.
所以双曲线的方程为.
由双曲线的方程知，双曲线的焦点在轴上，即，于是，
故这条双曲线的虚轴长为.故选：C.
【变式1-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）（多选）在平面直角坐标系中，已知双曲线：，则（ ）
A．的实轴长为2B．的离心率为2
C．的渐近线方程为D．的右焦点到渐近线的距离为
【答案】BD
【解析】由双曲线：可得：，所以，
故实轴长为，故A 错误，
离心率为，故B正确，
渐近线方程为，故C错误，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，故选：BD
【变式1-3】（23-24高二上·天津·月考）已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率．
【答案】(1)；(2)实轴长，焦点为，.
【解析】（1）在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
双曲线的焦点坐标为.
题型二 由几何性质求双曲线的标准方程
【例2】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意双曲线的焦点在轴上，则，，
又，则，故C的标准方程为.故选：C
【变式2-1】（23-24高二上·天津·月考）若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为（ ）
A．y2－x2＝96B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80D．y2－x2＝24
【答案】D
【解析】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为，
∴λ<0且，得λ＝－24.故选：D.
【变式2-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线C的方程是 ．
【答案】或
【解析】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
则，解得，
双曲线C的方程为；
当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
则，解得，
双曲线C的方程为；
综上：该双曲线C的方程是或.
故答案为：或
【变式2-3】（23-24高二上·浙江·期中）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程为 .
【答案】
【解析】设所求的双曲线方程为，
因为双曲线过点，所以，解得，
所以，，化为标准方程得，即.
故答案为：.
题型三 求双曲线离心率的值
【例3】（23-24高二上·江苏连云港·月考）已知双曲线的两条渐近线的夹角为直角，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由于渐近线互相垂直，故双曲线为等轴双曲线，故，
所以，故选：C
【变式3-1】（23-24高二下·江苏·开学考试）双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设双曲线的方程为，则．
设切线与圆相切于点，过点作，垂足为，则．
所以，有，所以．
又，，所以为等腰直角三角形，
所以，，
根据双曲线的定义可得，，所以．
在中，由余弦定理可得，．
所以，，
所以，，，所以，双曲线的离心率．故选：C．
【变式3-2】（23-24高二上·湖南常德·月考）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为直线是圆的切线，所以，
由双曲线定义可得，
所以双曲线的离心率.故选：A
【变式3-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】设，，
因为，所以，
又，所以，则，
因为，所以
又，所以，所以，则，则
故答案为:
【变式3-4】（23-24高二上·广东汕头·月考）已知双曲线的左，右焦点分别是，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示：
因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，
若，
由双曲线的定义，可得，
，则，
所以，
故为等边三角形，则，
在中，，
由余弦定理可得，
因此，双曲线C的离心率为．
故答案为：．
题型四 求双曲线离心率的范围
【例4】（23-24高二上·四川眉山·月考）已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
因为直线与C无公共点，所以，
则，且，
所以C的离心率的取值范围为.故选：D.
【变式4-1】（23-24高二上·河北保定·月考）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为A，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，，又，所以，
而是圆切线，则，
在中，，因此有，
从而，而，所以，
在双曲线上，因此，所以，
，从而，，即，故选：B．
【变式4-2】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，
令，得，
可设
由对称性，不妨设，
可得，，
由题意知三点不共线，
所以∠ADB为钝角，
即为，
将代入化简得，
由，可得，
又，解得，则，
综上，离心率的取值范围为．故选：D.
【变式4-3】（23-24高二上·湖北鄂州·月考）已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点.设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，直线经过双曲线的右焦点，且垂直于轴，不妨设，
代入椭圆方程，又，所以，
所以，，任取双曲线的一条渐近线为直线，
由点到直线的距离公式可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以，因为，
所以，因，所以，即，
所以，所以，
因为双曲线离心率，所以，
所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：C.
【变式4-4】（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．1,2D．
【答案】C
【解析】由题意得，，，
所以，
又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得，
所以，即，得，故C正确.故选：C.
题型五 与双曲线渐近线相关的问题
【例5】（23-24高二上·福建厦门·月考）若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以，得渐近线为，
因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得．故选：C
【变式5-1】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图．设，，则，
，在中由勾股定理：
，解得：，
在中，由勾股定理：
解得：，所以，
所以渐近线方程为：.故选：A．
【变式5-2】（23-24高二上·陕西·期中）已知为双曲线的右焦点，过点作轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点和点.若，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】
设，
过点作轴的垂线，直线方程为，
所以令，代入双曲线方程得，所以，
又在第一象限，所以，
双曲线的一条渐近线为，令可得，即，
又，所以是，中点，
则，即，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，即，
故答案为：.
【变式5-3】（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】设F1-c,0，圆的方程为，
由可得，
又因为，且为中点，所以为中点，
所以，可得，
将代入双曲线方程可得，
化简可得，所以，即，
所以渐近线方程为，
故答案为：.
题型六 直线与双曲线的位置关系
【例6】（23-24高二上·山东济宁·期末）直线与双曲线的交点个数是（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【答案】A
【解析】双曲线的渐近线方程为：，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，
在轴上的截距为3，所以直线与双曲线的交点个数是：1．故选：A．
【变式6-1】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ．
【答案】3
【解析】联立，
消去得，
当，即时，
直线和直线分别与双曲线的渐近线平行，
故只有一个交点；
当时，由，
可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点.
故答案为：3
【变式6-2】（24-25高二上·江苏连云港·月考）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，有，得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，
故，解得，故选：D.
【变式6-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【解析】由消去y并整理得：，
由直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，
得，解得，
所以的取值范围是.故选：B
题型七 直线与双曲线相交弦长问题
【例7】（23-24高二上·辽宁·月考）若直线与双曲线相交于两点，则 ；
【答案】
【解析】由消去y并整理得：，，
设，则，
所以.
故答案为：
【变式7-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，令，则，
过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，
如果在同一支上，则有，
如果在两支上，则有，
因为这样的直线有4条，
所以，解得，故选：B
【变式7-2】（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，
设双曲线的方程（，），
由已知得，，所以，.
所以双曲线方程为.
（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，
联立方程组，得，
当时，设，
，.
所以
令，解得.
经检验符合题意，所以.
【变式7-3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意得：，令，
则，
又焦点到渐近线的距离为，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设，，
联立方程组，消去整理得，
则，，，
所以，
又原点到直线的距离，
所以．
题型八 双曲线的中点弦问题
【例8】（23-24高二上·云南·月考）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【解析】设，，，因为，是上的两点，
是的中点，为坐标原点，且直线的斜率为，
所以①，②，③，，，
所以②-③得，即，
整理得，即，
所以.
故答案为：
【变式8-1】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
又， ，
两式相减，得，
即，整理得，
直线l的斜率为，
直线l的方程为，
化简得，经检验满足题意.
故答案为：.
【变式8-2】（23-24高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为，所以，
由可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）设中点的坐标为，
则
两式子相减得：，
化简得，
即，又，所以，
所以中点的坐标为，
所以直线的方程为，即.
将代入得，，
则，
.
【变式8-3】（23-24高二上·四川遂宁·月考）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？
【答案】(1)；(2)能，理由见解析
【解析】（1）如图所示：

由题意，的圆心分别为，，
且动圆与两定圆分别外切与两点，所以，
，
解得，
所以圆心的轨迹是以为焦点，为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点，
所以曲线C的方程为，（且）.
（2）如图所示：
过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能为线段的为中点，理由如下：
由题意设点Ax1,y1,Bx2,y2在双曲线上，且点为弦的中点，
所以，
又因为，所以，
即，，
存在过点且斜率为的直线：，即，
且联立，
消去并整理得，,两根均小于，满足题意，
综上所述：存在过点且斜率为的直线交曲线C于A，B两点，
且点Q为线段的中点.
题型九 双曲线的综合问题
【例9】（23-24高二上·山东临沂·期中）已知双曲线C：，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)如图，若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q，P，且，求证：是定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1））因为，所以，．
所以双曲线的方程为，即．
因为点在双曲线上，所以，所以．
所以所求双曲线的方程为．
（2）设直线OP的方程为，
∵，则直线OQ的方程为，
由，得，
所以．
同理可得，，
故．
∴是定值．
【变式9-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积．
【答案】(1)，；(2).
【解析】（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为，则，
由一条渐近线方程为，得，而，解得，，
所以双曲线的标准方程为，离心率.
（2）依题意，设直线：，，
由消去y并整理得，显然，
则，，
由，
而，解得，于是，，直线：交y轴于，
又，
所以的面积为.

【变式9-2】（23-24高二下·云南昆明·月考）已知双曲线的焦点为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；(2)过定点，
【解析】（1）由题意知，解得，
所以双曲线的方程是；
（2）直线的方程为，设．
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
同理可得，
因为，所以，即，
当且时，，
所以直线的方程为，
，
，
，
，
所以，
所以直线过定点；
当或时，直线的方程为，所以直线过定点．
综上，直线过定点．
【变式9-3】（23-24高二下·广东深圳·月考）已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.
(1)求的标准方程；
(2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；
(3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上.
【答案】(1)；(2)证明过程见解析；(3)证明过程见解析
【解析】（1）因为双曲线经过点A3,2，且直线是的一条渐近线，
所以，解得，
所以的标准方程为；
（2）
首先设是上任意一点，所以有，
这表明了点也在直线上，也可以得到，
联立直线的方程与椭圆的方程有，
化简并整理得，
而，且，
这也就是说与双曲线相切于点；
（3）
不妨设，
由（2）可知过点的直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，即有，
又，从而，
所以，
若，则
，
整理得，
因为，所以，也就是说，
从而，
所以点在定直线上上.标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性质
图形
性质
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；
半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x