人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质随堂练习题

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A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知．故选：D．
2．（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，
人在此时间内跑的路程为米，由题意可得．故选：B．
3．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.故选：D.
4．（2023广西）如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，根据面积公式可以得到.故选:C．
5．（2022秋·北京·高一校联考阶段练习）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（ ）个
A．20B．22C．24D．26
【答案】B
【解析】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数，
则由题意得，，，，可得，
所以，，，即至少有个.
故选：B.
6．（2023安徽省蚌埠市）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，则，所以，所以，
又，所以，所以.故选：D
7．（2023·陕西咸阳）已知，为实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对于A中，例如，此时满足且，此时，所以A不正确；
对于B中，当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以B不正确；
对于C中，由且，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，因为，可得，但的符号不确定，所以D不正确.
故选：C.
8．（2023云南）若，下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A：，又，知：，但无法确定符号，错误；
B：，，故，正确；
C：由，知，即，正确；
D：由，有，正确；
故选：A
9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【解析】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
故选：A.
10．（2023·天津南开）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若，则不成立，若且，此时推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D
11．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【解析】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
12．（2022·新疆克拉玛依）如果，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对A，取，则，故A错；
对B，取，则，故B错；
对C，取，则，故C错；
对D，由于，所以，，且，则，
则，故D正确；
故选：D.
13．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则
B．若，则或
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，若，则，故A是假命题．
对于B，当时，满足，但或不成立，故B是假命题．
对于C，因为，根据不等式的性质得，故C是真命题．
对于D，当时，与没有意义，故D是假命题．
故选：C
14．（2023春·陕西咸阳）已知,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为,所以,由,得,故选：A
15．（2023春·福建三明）（多选）若，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，当时，，C错；
对于D选项，，则，D对.
故选：ABD.
16．（2023春·山东临沂）（多选）设为正实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AC
【解析】对于A，由及为正实数，
可知，，则，
由，可得，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：AC
17．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列是假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】ABC
【解析】对选项A：当，，时满足，但，错误；
对选项B：当，，时，满足，但，错误；
对选项C：当，，时满足，，但，错误；
对选项D：，所以，正确．
故选：ABC
18．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若a>b，且，则abb>0，c>0，则D．若，则
【答案】BCD
【解析】选项A，例如，，时，成立，但不成立，A错误；
选项B，，，而，因此，B正确；
选项C，，，，
则，即，C正确；
选项D，，则，
，则，D正确．
故选：BCD．
19．（2022·高一课时练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为______.
【答案】
【解析】每种邮票至少买两套，则有，又因为50元钱买纪念邮票，
所以，
故
20．（2023·湖南）已知a，b，c，d为实数，以下6个命题中，真命题的序号是__________．
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
【答案】②④
【解析】对①，当时，，故①不成立；
对②，若，则，即，则，故②成立；
对③，若，则，则，故③不成立.
对④，若，则且，故，故④成立；
对⑤，若，则，故，即，故⑤不成立，
对⑥，，故⑥不成立，
故②④为真命题.
故答案为：②④.
21．（2023·黑龙江）设，比较与的大小
【答案】
【解析】，
，
，
.
22．（2023·全国·高一假期作业）已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【解析】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
23．（2023·河北）已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【解析】因为，，所以，即的取值范围是．
由，，得，所以的取值范围是．由，，
得，所以的取值范围是．易知，而则，
所以的取值范围是．
24．（2023·江苏）已知，且，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】因为，且，所以，，
要证明原不等式成立，只需证明，即证，
从而只需证明，即，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
25．（2023·陕西）已知，，且满足，则的取值范围是？
【答案】
【解析】设，则，解得，所以，
又，所以，
又，所以，即.
故的取值范围为.
1．（2023山西）集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是
A．,B．,
C．,D．,
【答案】B
【解析】从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．
2．（2023·山东淄博）（多选）对于实数，，，正确的命题是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则，D．若，，则
【答案】ABD
【解析】对选项A，因为，所以，，
所以，故A正确；
对选项B，，，所以，
因为，所以，即，故B正确；
对选项C，令，，满足，不满足，.
对选项D，因为，，
所以，故D正确.
故选：ABD
3．（2022秋·四川广安·高一统考期末）（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】AB
【解析】对于A项，因为，所以且，即：且，故A项正确；
对于B项，运用不等式的性质可知，若，，则正确，故B项正确；
对于C项，当，，，时，满足，，但不满足，故C项错误；
对于D项，因为，
又因为，，所以，，
所以，即：，故D项错误.
故选：AB.
4．（2023·福建）已知，某同学求出了如下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；，则下列判断中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．①②⑤D．①③⑥
【答案】D
【解析】,,,则，①正确；
，， ，
，则，③正确；
，，，
则，②④⑤错误，
，，，则
⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D.
5．（2023·宁夏吴忠）设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】设即所以，解得所以
因为，，所以由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.综上可知，的最小值为.
故答案为：.
6．（2023·上海）已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由，可得，即；
当时，即时，（舍去）；
当时，即时，，满足题意；
当时，即时，（舍去）；
同理可知，当或时不合题意，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
7．（2022·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.
【答案】
【解析】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.
若，则，可得，则，当时，取最小值，
即男学生人数为，则女学生人数的最小值为；
若的值未知，当时，则，不满足题意，
当时，则，不合乎题意，
当时，则，此时，，则，合乎题意.
故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.
故答案为：；.
8．（2023吉林）已知，试比较与的大小，并给出你的证明．
【答案】，证明见解析.
【解析】
证明如下：
因为，
所以，
即
因为，所以，
所以，
即，
因为，所以，
，
即证得
9（2023新疆）比较下列各组数的大小.
（1）与，；
（2）与.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，且，
，.
，即.
（2）
（当且仅当时取等号），
又，，.
.