2020-2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后测评

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）

目录

第一部分：思维导图（总览全局）

第二部分：知识点精准记忆

第三部分：课前自我评估测试

第四部分：典 型 例 题 剖 析

重点题型一：空间向量的坐标表示

重点题型二：空间向量的坐标运算

重点题型三：空间向量的平行与垂直

重点题型四：空间向量夹角的计算

重点题型五：空间向量模的计算

重点题型六：空间向量的投影

重点题型七：利用向量证明垂直关系

第五部分：新定义问题

第六部分：高考（模拟）题体验

知识点一：空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间直角坐标系

空间直角坐标系及相关概念

(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.

(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．

2、空间向量的坐标表示

2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．

2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.

知识点二：空间向量运算的坐标表示

设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：

知识点三：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示

1、两个向量的平行与垂直

特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.

2、向量长度的坐标计算公式

若，则，即

空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度

3、两个向量夹角的坐标计算公式

设，则

4、两点间的距离公式

已知，则

1．（2022·全国·高二课时练习）判断正误

（1）空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定是的形式．(        )

（2）空间直角坐标系中，在平面内的点的坐标一定是的形式．(        )

（3）空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为．(        )

2．（2022·全国·高二课时练习）设是空间向量的一个单位正交基底，，则，的坐标分别为_________．

3．（2022·全国·高二课时练习）与向量共线的向量是(        )

A．                    B．                    C．                    D．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知，若，则_________．

5．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）已知向量，则下列结论正确的是(        )

A．                    B．                    C．                    D．

重点题型一：空间向量的坐标表示

典型例题

例题1．（2022·北京房山·高二期末）如图，长方体，若，则的坐标为___________.

例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．

（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；

同类题型归类练

1．（2022·江苏·高二课时练习）已知正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系．

（1）写出各顶点的坐标；            

（2）写出向量的坐标．

2．（2022·湖南·高二课时练习）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的三等分点,且PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.

重点题型二：空间向量的坐标运算

典型例题

例题1．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，求，，．

例题2．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高一阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则___________.

同类题型归类练

1．（2022·江苏连云港·高二期末）已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．

2．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知，，则_______.

3．（2022·全国·高二课时练习）已知点，，，，求：

(1)，，；

(2)；

重点题型三：空间向量的平行与垂直

典型例题

例题1．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量，若，则的值为（  ）

A．2 B．1 C． D．

例题2．（2022·全国·高二）已知，，且与垂直，则的值为___________.

例题3．（2022·全国·高二课时练习）已知，.

(1)当时，求实数的值;

(2)当时，求实数的值.

例题4．（2022·全国·高三专题练习）若，．

（1）若，求；

（2）若，求．

同类题型归类练

1．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量，，若，则实数的值为（       ）

A．2 B．4 C． D．

2．（2022·安徽滁州·高二期中）已知，，若，则m的值为（       ）

A．－2 B．2 C． D．

3．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）向量，向量，若，则实数________．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知，，且与平行，求实数m的值.

5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，．

(1)若，试求实数x，y的值；

(2)若，且x，y均为正数，试求xy的最大值．

6．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，．

(1)若，求实数x，y的值；

(2)若，且，求实数x，y的值．

重点题型四：空间向量夹角的计算

典型例题

例题1．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量，，则向量与的夹角为（   ）

A．0 B． C． D．

例题2．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（   ）

A．1 B． C．或 D．17或

例题3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.

例题4．（2021·四川省平昌中学高一阶段练习）已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______

同类题型归类练

1．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））已知，，且，则向量与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·浙江丽水·高二开学考试）已知向量，，若与夹角为，则的值为（       ）

A． B． C．－1 D．1

3．（2022·四川达州·高一期末（理））若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（       ）

A． B． 

C． D．

5．（2022·全国·高二课时练习）已知、、，与的夹角为 ，则实数______．

6．（2022·湖北·高二学业考试）已知平面内两个向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________．

7．（2022·福建省长汀县第一中学高二阶段练习）设向量，，计算以及与所成角的余弦值．

8．（2022·北京市第十二中学高一阶段练习）已知.

(1)求与夹角的余弦值.

(2)当与的夹角为钝角时，求的取值范围.

重点题型五：空间向量模的计算

典型例题

例题1．（2022·四川省蒲江县蒲江中学高二阶段练习（理））设、，向量，，且，，则（   ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高二单元测试）若向量，，且，则实数______．

例题3．（2022·全国·高二课时练习）若两点，，当取最小值时，的值等于__________.

同类题型归类练

1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知向量，，若，则（       ）

A．1 B． C． D．2

2．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量，，则（       ）

A． B．40 C．6 D．36

3．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期末）向量，，，且，，则______.

4．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，P、Q是正方体表面上相异两点．若P、Q均在平面上，满足，．

(1)判断PQ与BD的位置关系；

(2)求的最小值．

重点题型六：空间向量的投影

典型例题

例题1．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知，则在上的投影向量为（   ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知向量，，则在的方向上的数量投影为（    ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知，在上的投影为1，则在上的投影为（   ）

A．-1 B．2 C．3 D．

例题4．（2022·上海市建平中学高一期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___．

同类题型归类练

1．（2022·广东惠州·高二期末）已知，，则在上的投影向量为（       ）

A．1 B． C． D．

2．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则向量在向量上的投影向量是（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·江西南昌·高一期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（       ）

A． B． C．1 D．

重点题型七：利用向量证明垂直关系

典型例题

例题1．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.

例题2．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：

(1)求的模；

(2)求的值；

(3)求证：平面.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.

(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；

(2)求证：.

2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

（1）求 的模；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．

（1）求的长；

（2）求cos<>的值；

（3）求证：A1B⊥C1M．

1．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体ABCDFE，如图，四边形ABCD，ABEF均为等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分别为3，7，且，，，则________.

2．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.

(1)若，，求的斜60°坐标；

(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.

①若，求向量的斜坐标；

②若，且，求.

1．（2022·河南·模拟预测（理））在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·浙江·模拟预测）在四棱台中，侧棱与底面垂直，上下底面均为矩形，，，则下列各棱中，最长的是（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·模拟预测（理））已知向量，，，若，则实数（       ）

A．－2 B．2 C．1 D．－1

4．（多选）（2022·江苏苏州·模拟预测）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（       ）．

A． B．

C． D．