人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品课后复习题

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两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1.cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β-----“同名相乘，符号反”
2.sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β-----“异名相乘，符号同”
3.tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)---------“上同号，下1异号相乘”
二．二倍角公式
（1）sin 2α＝2sin αcs α ↔12sin 2α＝sin αcs α
（2）cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
三.辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tan φ＝eq \f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
一．给值求值
(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：
①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；
②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
二．给值求角
在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数
若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正弦函数和余弦函数都可；
若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数比余弦函数好；
若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.
三．探究三角函数式化简、证明
(1)化简的要求
①能求出值的应求出值
②尽量使三角函数种数最少
③尽量使项数最少
④尽量使分母不含三角函数
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
（2）化简的思路
①对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式
②对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式
③对于二次根式，注意二倍角公式的逆用.
另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法.
四．证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
考点一 两角和差公式的正用和逆用
【例1】（2023春·山东青岛·高一统考期中）下列等式成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·甘肃兰州·高一统考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·四川成都·高一石室中学校考期中）的值为 .
4．（2023秋·高一课时练习） .
5．（20223·山西大同）计算：
A．B．C．D．
6．（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（ ）
A．1B．C．3D．
考点二 两角和差公式--给值求值
【例2-1】（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期中）已知为锐角，，则（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·高一单元测试）已知都是锐角，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·湖南株洲·高一统考期末）若为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·高一课时练习）若，， ，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
考点三 两角和差公式--给值求角
【例3】（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）已知锐角满足，则等于（ ）
A．B．或C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知，，，，则 .
2．（2023秋·高一课时练习）已知，其中，，则 ， .
3．（2023春·高一单元测试）已知，且，，求的值．
考点四 二倍角公式的正用和逆用
【例4】（2023春·山东临沂·高一统考期中）（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2023春·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）（多选）下列三角式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·四川宜宾·高一校考期中）（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
考点五 二倍角给值求值
【例5】（2023湖南）已知，则 .
【一隅三反】
1．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考点六 三角函数式的化简与证明
【例6-1】（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习） .
【例6-2】（2023春·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：
(1)；
(2)
【一隅三反】
1．（2023春·全国·高一专题练习）化简 ．
2．（2023春·江苏·高一专题练习） .
3．（2022·高一课时练习）求证：
(1)；
(2)．
考点七 辅助角公式研究三角函数性质
【例7】（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期及函数的单调递减区间；
(2)求函数在上的值域．
【一隅三反】
1．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)解不等式，其中.
2．（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）设函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值与最小值及相对应的的值.
3．（2023春·山东威海·高一统考期末）已知函数.
(1)当时，求的取值范围；
(2)若锐角，满足，，求.