新高考数学考前考点冲刺精练卷04《基本不等式》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
已知x＞2，则x＋eq \f(1,x－2)的最小值是( )
A.1 B.2 C.2eq \r(2) D.4
【答案解析】答案为：D
解析：∵x＞2，∴x＋eq \f(1,x－2)＝x﹣2＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2\f(1,x－2))＋2＝4，
当且仅当x﹣2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立.
设0＜x＜eq \f(3,2)，则函数y＝4x(3﹣2x)的最大值为( )
A.eq \f(9,4) B.4 C.eq \f(9,2) D.9
【答案解析】答案为：C
解析 y＝4x(3﹣2x)＝2·2x·(3﹣2x)≤2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2).当且仅当2x＝3﹣2x，
即x＝eq \f(3,4)时取等号，∴当x＝eq \f(3,4)时，ymax＝eq \f(9,2).
已知函数f(x)＝eq \f(－x2,x＋1)(x＜﹣1)，则( )
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值﹣4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值﹣4
【答案解析】答案为：A
解析 f(x)＝eq \f(－x2,x＋1)＝eq \f(－x2－1＋1,x＋1)＝﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(1,x＋1)))＝﹣eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1＋\f(1,x＋1)－2))＝﹣(x＋1)＋eq \f(1,－x＋1)＋2.因为x＜﹣1，所以x＋1＜0，﹣(x＋1)＞0，所以f(x)≥2eq \r(1)＋2＝4，
当且仅当﹣(x＋1)＝eq \f(1,－x＋1)，即x＝﹣2时，等号成立.故f(x)有最小值4.
已知0＜a＜1，b＞1，则下列不等式中成立的是( )
A.a＋b＜eq \f(4ab,a＋b) B.eq \r(ab)＜eq \f(2ab,a＋b) C.eq \r(2a2＋2b2)＜2eq \r(ab) D.a＋b＜eq \r(2a2＋2b2)
【答案解析】答案为：D
解析 对于选项A，因为0＜a＜1，b＞1，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞4ab，故选项A错误；
对于选项B，eq \r(ab)＞eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq \f(2ab,a＋b)，故选项B错误；
对于选项C，eq \r(2a2＋b2)＞eq \r(2×2ab)＝2eq \r(ab)，故选项C错误；
对于选项D,2a2＋2b2＞a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，所以a＋b＜eq \r(2a2＋2b2)，故选项D正确.
已知命题p：a＞b＞0，命题q：eq \f(a2＋b2,2)＞(eq \f(a＋b,2))2，则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A
解析 ∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2(a2＋b2)＞a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)＞(a＋b)2，
∴eq \f(a2＋b2,2)＞(eq \f(a＋b,2))2，∴由p可推出q，当a＜0，b＜0时，命题q成立，
如a＝﹣1，b＝﹣3时，eq \f(a2＋b2,2)＝5＞(eq \f(a＋b,2))2＝4，∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件.
下列函数中，最小值为2的是( )
A.y＝x＋eq \f(2,x) B.y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))
C.y＝ex＋e﹣x D.y＝lg3x＋lgx3(0＜x＜1)
【答案解析】答案为：C
解析 当x＜0时，y＝x＋eq \f(2,x)＜0，故A错误；
y＝eq \f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)＋eq \f(1,\r(x2＋2))≥2，当且仅当eq \r(x2＋2)＝eq \f(1,\r(x2＋2))，即x2＝﹣1时取等号，
∵x2≠﹣1，故B错误；
y＝ex＋e﹣x≥2eq \r(ex·e－x)＝2，当且仅当ex＝e﹣x，即x＝0时取等号，故C正确；
当x∈(0,1)时，y＝lg3x＜0，故D错误.
已知x＞2，y＞1，(x﹣2)(y﹣1)＝4，则x＋y的最小值是( )
A.1 B.4 C.7 D.3＋eq \r(17)
【答案解析】答案为：C
解析 ∵x＞2，y＞1，(x﹣2)(y﹣1)＝4，∴x＋y＝(x﹣2)＋(y﹣1)＋3≥2eq \r(x－2y－1)＋3＝7，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3))时等号成立.
若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则( )
A.A的最大值为eq \f(π,3) B.A的最大值为eq \f(2π,3)
C.A的最小值为eq \f(π,3) D.A的最小值为eq \f(π,6)
【答案解析】答案为：A
解析 ∵sin B＋sin C＝2sin A.∴b＋c＝2a.
由余弦定理知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－\f(b＋c2,4),2bc)＝eq \f(3b2＋c2－2bc,8bc)≥eq \f(6bc－2bc,8bc)＝eq \f(1,2)，当且仅当b＝c时取等号.又A∈(0，π)，∴0＜A≤eq \f(π,3)，即A的最大值为eq \f(π,3).
已知x＞0，y＞0，且2x＋8y﹣xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于( )
A.16 B.6 C.18 D.12
【答案解析】答案为：B
解析 因为x＞0，y＞0,2x＋8y＝xy，所以eq \f(2,y)＋eq \f(8,x)＝1，
所以x＋y＝(x＋y)(eq \f(2,y)＋eq \f(8,x))＝10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋2eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝10＋2×4＝18，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2x,y)＝\f(8y,x)，,2x＋8y－xy＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝6))时取等号，
所以当x＋y取得最小值时，y＝6.
若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq \f(a2,x)＋eq \f(b2,y)≥eq \f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq \f(a,x)＝eq \f(b,y)时取等号.利用以上结论，函数f(x)＝eq \f(2,x)＋eq \f(9,1－2x)，x∈(0，eq \f(1,2))取得最小值时x的值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,4) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,3)
【答案解析】答案为：A
解析 f(x)＝eq \f(2,x)＋eq \f(9,1－2x)＝eq \f(4,2x)＋eq \f(9,1－2x)≥eq \f(2＋32,2x＋1－2x)＝25，当且仅当eq \f(2,2x)＝eq \f(3,1－2x)，
即x＝eq \f(1,5)时等号成立.
二、多选题
(多选)已知1≤a≤5，a＋b＝8，则( )
A.﹣6≤a﹣b≤2 B.7≤ab≤15
C.32≤a2＋b2≤50 D.2a＋8b的最小值为128
【答案解析】答案为：AC
解析：对于A，由已知得a﹣b＝2a﹣(a＋b)＝2a﹣8，又1≤a≤5，
所以﹣6≤2a﹣8≤2，所以﹣6≤a﹣b≤2，故A正确；
对于B，当a＝b＝4时，ab＝16，不等式不成立，故B错误；
对于C，a2＋b2＝a2＋(8﹣a)2＝2a2﹣16a＋64＝2(a﹣4)2＋32，由1≤a≤5，得0≤(a﹣4)2≤9，所以32≤2(a﹣4)2＋32≤50，故C正确；
对于D,2a＋8b＝2a＋23b≥2eq \r(2a＋3b)，当且仅当a＝3b，即a＝6，b＝2时等号成立，此时2a＋8b取得最小值128，但与1≤a≤5矛盾，故D错误.
(多选)下列四个函数中，最小值为2的是( )
A.y＝sin x＋eq \f(1,sin x)(0C.y＝eq \f(x2＋6,\r(x2＋5)) D.y＝4x＋4﹣x
【答案解析】答案为：AD
(多选)下列与不等式有关的命题正确的是( )
A.若ab≠0且aB.若a，b，m均为正实数，且b＞a，则eq \f(a＋m,b＋m)＞eq \f(a,b)
C.若a＞b＞c且ac<0，则cb2D.若a＞0，b＞0，则(a＋eq \f(1,a))(b＋eq \f(1,b))≥4
【答案解析】答案为：BD
解析：当a＝﹣1，b＝2时满足aa，b，m均为正实数，且b＞a，则eq \f(a＋m,b＋m)﹣eq \f(a,b)＝eq \f(mb－a,bb＋m)＞0，所以eq \f(a＋m,b＋m)＞eq \f(a,b)，B正确；
a＞b＞c且ac<0，若b＝0，则不等式cb2当a＞0，b＞0时，(a＋eq \f(1,a))(b＋eq \f(1,b))≥2eq \r(a×\f(1,a))×2eq \r(b×\f(1,b))＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，D正确.
(多选)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值不可能是( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
【答案解析】答案为：AD.
解析：由已知和余弦定理推导式可得，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,2),2ab)＝eq \f(1,4)×eq \f(a2＋b2,ab)，
∵a＞0，b＞0，∴eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当a＝b时等号成立.
∴cs C≥eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，∴C∈(0,eq \f(π,3)].
三、填空题
设a＞0，b＞1，若a＋b＝2，则eq \f(3,a)＋eq \f(1,b－1)的最小值为________.
【答案解析】答案为：4＋2eq \r(3).
解析：∵a＞0，b＞1，a＋b＝2，
∴eq \f(3,a)＋eq \f(1,b－1)＝(eq \f(3,a)＋eq \f(1,b－1))(a＋b﹣1)＝3＋eq \f(3b－1,a)＋eq \f(a,b－1)＋1
＝4＋eq \f(3b－1,a)＋eq \f(a,b－1)≥4＋2eq \r(3)，
当eq \f(3b－1,a)＝eq \f(a,b－1)，即a＝eq \f(3－\r(3),2)，b＝eq \f(\r(3)＋1,2)时取等号，故最小值为4＋2eq \r(3).
已知函数f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋x(2x＞1)，则f(x)的最小值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(5,2).
解析 ∵2x＞1，∴x﹣eq \f(1,2)＞0，
f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋x＝eq \f(1,x－\f(1,2))＋x﹣eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)≥2eq \r(\f(1,x－\f(1,2))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))))＋eq \f(1,2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，
当且仅当eq \f(1,x－\f(1,2))＝x﹣eq \f(1,2)，即x＝eq \f(3,2)时取“＝”.∴f(x)的最小值为eq \f(5,2).
若0＜x＜2，则xeq \r(4－x2)的最大值为________.
【答案解析】答案为：2
解析 ∵0＜x＜2，∴xeq \r(4－x2)＝eq \r(x24－x2)≤eq \f(x2＋4－x2,2)＝2，当且仅当x2＝4﹣x2，即x＝eq \r(2)时取“＝”.
已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________.
【答案解析】答案为：2 eq \f(9,2).
解析 ∵a＋2b＝2ab，∴2ab≥2eq \r(2ab)，即ab≥2，当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立，故ab的最小值为2.∵a＋2b＝2ab，∴eq \f(1,b)＋eq \f(2,a)＝2，
∵2a＋b＝(2a＋b)·eq \f(1,2)·(eq \f(1,b)＋eq \f(2,a))＝eq \f(1,2)(5＋eq \f(2a,b)＋eq \f(2b,a))≥eq \f(1,2)(5＋2eq \r(4))＝eq \f(9,2)，
当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(2b,a)，即a＝b＝eq \f(3,2)时等号成立，∴2a＋b的最小值为eq \f(9,2).
已知正数x，y满足x＋2y＝3，则eq \f(y,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(2\r(3)＋2,3)
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝3，∴eq \f(y,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(\f(x＋2y,3),y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(x,3y)＋eq \f(2,3)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(x,3y))＋eq \f(2,3)＝eq \f(2\r(3)＋2,3)，当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(x,3y)即x＝6eq \r(3)﹣9，y＝6﹣3eq \r(3)时等号成立，∴eq \f(y,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(2\r(3)＋2,3).
若对x＞0，y＞0，x＋2y＝1，有eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m恒成立，则m的最大值是________.
【答案解析】答案为：8.
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)·(eq \f(2,x)＋eq \f(1,y))＝2＋2＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)
≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)时取等号，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的最小值为8，
又eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8.
若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为________.
【答案解析】答案为：3＋2eq \r(2).
解析 因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1，
由x＋y＝xy得，(x﹣1)(y﹣1)＝1，
于是得eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)＝1＋eq \f(1,x－1)＋2＋eq \f(2,y－1)＝3＋(eq \f(1,x－1)＋eq \f(2,y－1))≥3＋2eq \r(\f(1,x－1)·\f(2,y－1))＝3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(1,x－1)＝eq \f(2,y－1)，即x＝1＋eq \f(\r(2),2)，y＝1＋eq \r(2)时取“＝”，
所以eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为3＋2eq \r(2).
习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为________万元.
【答案解析】答案为：120.
解析 由题意得，五年累计总投入资金为
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋5×3a1＝5a3＋15a1＝5(a3＋3a1)＝10(a1＋a2)，
而10(a1＋a2)＝10eq \r(a\\al(2,1)＋2a1a2＋a\\al(2,2))≤10eq \r(2a\\al(2,1)＋a\\al(2,2))＝120，当且仅当a1＝a2时等号成立，
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.