高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质练习，共18页。

知识点01 双曲线的几何性质
【即学即练1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±xD．y=±5x
【即学即练2】（22-23高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x24-y2b2=1b>0的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，求双曲线C的焦距.
知识点02等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq \r(2).
注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识
1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；
2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
3.巧设双曲线方程：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【即学即练3】（2022高二·全国·专题练习）等轴双曲线的一个焦点为-6,0，则它的标准方程是（ ）
A．x2-y2=-18B．x2-y2=18
C．x2-y2=-8D．x2-y2=8
【即学即练4】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A42,2，则双曲线C的标准方程为（ ）
A．x236-y236=1B．y236-x236=1C．x228-y228=1D．y228-x228=1
知识点03 双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
【即学即练5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课后作业）已知双曲线16x2-9y2=144，求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
难点：数形结合的运用
示例1：（多选）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设F为双曲线C:x22-y22=1的焦点，O为坐标原点，若圆心为0,m，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）.
A．C的离心率为2B．OA2+OB2=6
C．OA+OB≤4D．FA2+FB2≥16-83
【题型1：双曲线的几何性质】
例1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线y212-x2b2=1b>0的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±13xB．y=±3xC．y=±3xD．y=±33x
变式1．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知双曲线C:x2a2-y26=1a>0的焦距为43，则C的渐近线方程是（ ）
A．y=±77xB．y=±33x
C．y=±xD．y=±3x
变式2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线x24-y216=1的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A．5B．4C．455D．23
变式3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线x24-y23=1与y23-x24=1，有（ ）
A．相同的离心率B．公共焦点
C．公共顶点D．公共渐近线
变式4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线y=2x+m与双曲线Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)的一条渐近线平行，则Γ的实轴长为（ ）
A．22B．32C．62D．6
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知a,b>0,a≠b，则关于双曲线C1:x2a2-y2b2=1与双曲线C2:y2a2-x2b2=1，下列说法中正确的是（ ）.
A．有相同的焦距B．有相同的焦点
C．有相同的离心率D．有相同的渐近线
变式6．（多选）（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆C1:x216+y29=1与双曲线C2：x216-k-y2k-9=1（9A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等
C．焦距相等D．离心率不相等
变式7．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线C:mx2-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为mx+3y=0，则C的焦距为 .
变式8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程x2+my2-m=0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 .
【方法技巧与总结】
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质。
注意：求性质时一定要注意焦点的位置
【题型2：利用几何性质求标准方程】
例2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为y=±22x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）.
A．x24-y22=1B．x24-y28=1或y24-x28=1
C．x24-y28=1D．x24-y22=1或y24-x28=1
变式1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点4,-3且与双曲线x24-y23=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A．y212-x29=1B．x212-y29=1C．y29-x212=1D．x29-y212=1
变式2．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±2x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为 ．
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线C的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为3x+y=0，直线l:y=x-2截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 .
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点与椭圆x216+y29=1的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为y=22x，则该双曲线的标准方程为 ．
变式5．（23-24高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线x2-y22=1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程为 .
变式6．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E与双曲线4x2-12y2=3具有相同的渐近线，且经过点A3,2，则双曲线E的方程为 .
变式7.（23-24高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程：
(1)过点（2，0），与双曲线y264-x216=1的离心率相等；
(2)与双曲线y24-x23=1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）．
【题型3：离心率问题】
例3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点F1作直线与它的两条渐近线分别交于A,B两点，且OA⋅AB=0,F1A=AB,O是坐标原点，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．3C．2D．3
变式1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线x2-y215=1的离心率为（ ）
A．3B．14C．15D．4
变式2．（23-24高二下·广西·期中）双曲线x2-4y2=1的离心率为（ ）
A．2B．3C．52D．5
变式3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，设P为线段AB的中点，若OP=PF2=24F1F2，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．423C．233D．253
变式4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得PF2=4a，且S△PF1F2=12a2，则双曲线C的离心率e=（ ）.
A．5B．53C．6+1D．13
变式5．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一条渐近线的方程为x+2y=0，则C的离心率的值为 .
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2且在x轴上，且双曲线上存在一点P使得|PO|2=PF1⋅PF2，若PF2⊥x轴，则该双曲线的离心率为 ．
变式7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若MF=3FN,OM=3OP,OP⋅PF=0，则双曲线的离心率为 .

变式8．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为60∘，则双曲线的离心率为 ．
【方法技巧与总结】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合c2=a2+b2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的渐近线与圆x-22+y2=3没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．233,+∞B．2,+∞C．1,2D．1,233
变式1．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2：x2a2-y2b2=1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于155，则e2e1的取值范围是（ ）
A．1,4B．4,+∞C．1,2D．2,+∞
变式2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点且点P在x轴上的射影恰为该双曲线的右焦点F2,PF1交双曲线于另一点Q，满足F1Q=λ|QP|,13⩽λ⩽38，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．[2,3]B．[3,5]C．[5,7]D．[7,10]
变式3．（19-20高二上·河北石家庄·期中）已知点F1，F2分别是双曲线C:x2-y2b2=1b>0的左右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足F1F2=2OP，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．1,179B．179,+∞
C．173,+∞D．1,173
变式4．（23-24高二上·重庆·期中）已知F1-c,0，F2c,0为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个焦点，P为双曲线上一点，且PF1⋅PF2=-12c2.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．1,2B．1,2C．2,+∞D．2,+∞
变式5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆C:x2+y2-4x+3=0与双曲线D:y2a2-x2b2=1a>0,b>0的渐近线有公共点，则双曲线D的离心率的取值范围为 ．
变式6．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左，右焦点分别为F1、F2，焦距为2c．若以线段F1F2为直径的圆与直线ax-by+2ac=0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为
变式7．（23-24高二上·江苏常州·期中）F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若PF22PF1最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是 .
变式8．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记△AF1F2的内切圆的半径为r1，△BF1F2的内切圆的半径为r2，r1r2≤16a2，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【题型5：直线与双曲线的位置关系】
例5．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线l的方程为y=kx-1，双曲线C的方程为x2-y2=1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(-2,-1)B．1,2C．(-2,-1)∪(1,2)D．1,2
变式1．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，右焦点为F，点E的坐标为(ba,cb)，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不确定
变式2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线C:x29-y216=1，过点P3,3作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
变式3．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线C经过点2,2，且与y24-x2=1具有相同的渐近线，则经过点3,0且与双曲线C有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点4,33作直线，使它与双曲线x24-y29=1只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
变式5．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知双曲线x2-y23=1，与直线y=kx-k+2只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ．
变式6．（2024高三·全国·专题练习）过点P7,5且与双曲线x27-y225=1有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
变式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，点P1,32在E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l与C相交于A,B两点，AB中点W在曲线x2+4y232=x2-4y23上，探究直线AB与双曲线C1:x2-4y23=1的位置关系．
变式8.（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线x2-y22=1在点2,2处的切线方程；
（2）已知P1,1是双曲线外一点，过P引双曲线x2-y22=1的两条切线PA,PB，A，B为切点，求直线AB的方程．
【方法技巧与总结】
将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程x2a2-y2b2=1,a>0,b>0联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点
【题型6：双曲线弦长问题】
例6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：2x2-y2=2，过点P1,2的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段MN的中点，则弦长MN= .
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为5的双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为右支上的一点，若PF2=2a，则S△PF1F2=（ ）
A．8a2B．4a2C．42a2D．43a2
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线x24-y25=1的右焦点为F，过F作PF垂直于一条渐近线，垂足为P，若点P,Q关于原点对称，则S△PQF= ．
变式3.（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线M与双曲线N：x26-y23=1有共同的渐近线．
(1)若M经过抛物线y=-x2+8x-14的顶点，求双曲线M的方程；
(2)若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且PF1=PF2+10，求双曲线M的方程．
变式4．（22-23高二上·浙江金华·期中）双曲线x23-y26=1的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点F2且倾斜角为30∘的直线交双曲线于A，B两点.
(1)求弦长AB；
(2)若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|⋅|PF2|=12，求点P到x轴的距离.
变式5．（23-24高二下·上海·期末）已知A、B是双曲线C:x24-y2=1的两点，AB的中点P的坐标为4,1．
(1)求直线AB的方程；
(2)求A,B两点间距离．
变式6．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±22x.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且AB=42，求实数m的值.
变式7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，O为坐标原点，点P(3,2)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于M,N两点，且OM⋅ON=0，求|MN|的最小值．
变式8．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线C：x2a2-y22=1a>0的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为3的直线l经过右焦点F2，与双曲线的右支相交于A，B两点，双曲线的左焦点为F1，求△ABF1的周长.
变式9．（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与C2:y29-x23=1有相同的渐近线，点F(2,0)为C1的右焦点，A，B为C1的左右顶点．
(1)求双曲线C1的方程；
(2)过点F倾斜角为45°的直线l交双曲线C1于M，N两点，求MN．
【方法技巧与总结】
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【题型7：双曲线中点弦问题】
例7．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1的直线l（斜率为正）交双曲线于A,B两点，满足F1B=3F1A，设M为AB的中点，则直线OM（O为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．26B．3C．43D．5
变式1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线l:y=x+2与双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0交于A、B两点，点M1,3是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．2C．3D．3
变式2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线l过双曲线C：x2-y24=1的左焦点F，且与C的左、右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ）
A．±102B．±132C．±133D．±63
变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线x24-y23=1交于A、B两点，且弦AB的中点为M(3,32)，则直线l的方程为 ．
变式4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线C:x22-y28=1，过点P1,8的直线l与C相交于A,B两点，且P为线段AB的中点，则直线l的方程为 .
变式5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点A,B,C是离心率为2的双曲线Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上的三点，直线AB,AC,BC的斜率分别是k1,k2,k3，点D,E,F分别是线段AB,AC,BC的中点，O为坐标原点，直线OD,OE,OF的斜率分别是k1',k2',k3'，若1k1'+1k2'+1k3'=5，则k1+k2+k3= ．
变式6.（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线Γ：x24-y2=1的左右顶点分别为A1、A2．
(1)求以A1、A2为焦点，离心率为12的椭圆的标准方程；
(2)直线l过点C1,1与双曲线Γ交于A,B两点，若点C恰为弦AB的中点，求出直线l的方程；
变式7.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±2x，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M3,2，求直线l的斜率.
变式8.（2024高二·全国·专题练习）过点P4,1的直线l与双曲线x24-y2=1相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
【方法技巧与总结】
双曲线中点弦的斜率公式：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【题型8：解答题】
例8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为5x-2y=0，且点-22,5在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2,P为双曲线右支上任意一点，求PA1⋅PF2的最小值.
变式1．（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线C1过点(-4,32)且与双曲线C2:x22-y23=1有共同的渐近线，F1，F2分别是C1的左、右焦点．
(1)求C1的标准方程；
(2)设点P是C1上第一象限内的点，求PF1⋅PF2的取值范围．
变式2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知曲线C的方程为x-102+y2-x+102+y2=2．
(1)说明C为何种圆雉曲线，并求C的标准方程；
(2)已知直线y=x-4与C交于A，B两点，与C的一条渐近线交于D点，且D在第四象限，O为坐标原点，求OA⋅OD+OB⋅OD．
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25-x2m=1的离心率e∈52,2．
(1)若命题q为真，求实数m的取值范围；
(2)若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．
变式4．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点F10,0到C的一条渐近线的距离为6．
(1)求C的方程．
(2)设C的左、右顶点分别为A1，A2，过点3,0且斜率不为0的直线l与C相交于M，N两点，直线A1M与直线A2N相交于点P．试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
变式5．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）经过点2,2，且其离心率为5．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的左，右焦点分别为F1，F2，C的一条渐近线上有一点P，满足PF2恰好垂直于这条渐近线，求△PF1F2的面积．
变式6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1过点M3,4，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q（P在第一象限）两点，PF2=3F2Q，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标．
变式7．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线Γ:x23-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交y轴于点Q.
(1)当直线l平行于Γ的斜率大于0的渐近线l1时，求直线l与l1的距离；
(2)当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足F1P⋅F1Q=0?若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由;
变式8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：x+52+y2=9的圆心为M，圆N：x-52+y2=1的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点P2,0，不经过点P的直线l与曲线C交于A，B两点，且PA⋅PB=0．直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
一、单选题
1．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）方程x2-23x+1=0的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率B．两双曲线的离心率
C．两椭圆的离心率D．以上皆错
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线mx2-y2=1的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±2xD．y=±22x
3．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1a>0,b>0下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．y212-x24=1B．3y24-x24=1C．x24-y24=1D．y216-x24=1
4．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线x2-y23=1的离心率为（ ）
A．12B．2C．2D．22
5．（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线C:x23-y24=1的左顶点为A1，右焦点为F2，虚轴长为m，离心率为e，则（ ）
A．A1-3,0B．F21,0C．m=2D．e=213
6．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线x2m2+1-y2=1的实轴长为4，则正数m=（ ）
A．3B．2C．94D．72
7．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为54，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±43xD．y=±34x
8．（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是（ ）
A．x2-y2=8B．x2-y2=4
C．y2-x2=8D．y2-x2=4
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线C：x2m-y2m+3=1，则“m=3”是“双曲线C的离心率为3”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
10．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为x225+y29=1，双曲线的方程为y28-x28=1，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为y=x
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率e=45
D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点
11．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：x25-y24=1的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为x29+y25=1
B．双曲线C的离心率为355
C．直线AP与BQ的斜率之积为-45
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
12．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线C:mx2+ny2=1，下列说法正确的是（ ）
A．若m=n>0，则C是圆，其半径为nn
B．若m>0，n=0，则C是两条直线
C．若n>m>0时，则C是椭圆，其焦点在y轴上
D．若mn<0时，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±-nmx
三、填空题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线W:x2a2-y23=1（其中a>0）的右焦点为F(2,0)，则 W的离心率为 ．
14．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线W:x23-y2=1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A,B两点，若∠PAB=30∘，则△PAB的周长为 .
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：x24-y2m=1m>0的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
16．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线x2-y2=4，直线l:y=k(x-1)，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
17．（23-24高二下·上海·期中）已知k∈R，直线y=kx+1与双曲线4x2-y2=1相交于不同的点A,B.
(1)若点A,B分别在双曲线的左、右两支上，求k的取值范围；
(2)若以线段AB为直径的圆，经过坐标原点，求k的值.
18．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1，过该曲线上的点P(3,1)作不平行于坐标轴的直线l1交双曲线的右支于另一点Q，作直线l2//l1交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为x±y=0，且|AB|=|PQ|，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线QB过定点.
(3)当PQ的斜率为负数时，求四边形ABPQ的面积的取值范围．
19．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线C和椭圆x24+y2=1有公共焦点，且离心率e=62．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P2,1作两条相互垂直的直线PM,PN分别交双曲线C于不同于点P的M、N两点，求点P到直线MN距离的最大值．
课程标准
学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质
2.理解双曲线离心率的定义，掌握离
心率的算法
1.重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质:
2.难点:双曲线的离心率的意义及算法
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性质
范围
x≤－a或 x≥a，y∈eq \a\vs4\al(R)
y≤－a或 y≥a，x∈eq \a\vs4\al(R)
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：eq \a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq \a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq \a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq \a\vs4\al(b)
离心率
e＝eq \a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x