数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程当堂达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程当堂达标检测题，共13页。试卷主要包含了定义，焦距， 若常数满足约束条件等内容，欢迎下载使用。

知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线C：x2-y215=1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，若PF1=7，则PF2=（ ）
A．5B．13C．5或9D．5或6
【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|-|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
知识点02双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点-1,0，焦点分别为F1-2,0、F22,0，则双曲线的方程为（ ）
A．x22-y2=1B．x2-y22=1C．x23-y2=1D．x2-y23=1
【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A．x2-y224=1B．x224-y2=1
C．x249-y224=1D．x24-y221=1
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线E：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，直线l：y=x与E交于A，B两点，且AF⊥BF，则b2a2= .
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹是（ ）
A．射线B．直线
C．椭圆D．双曲线的一支
变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．直线C．双曲线D．两条射线
变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设F1、F2是两定点，F1F2=6，动点P满足PF1-PF2=4，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．轨迹不存在
变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线x264-y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是 ．
变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆x2+y2=4及x2+y2-8x+15=0都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支C．抛物线D．圆
变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）平面内到两定点F1-3,0、F23,0的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．一条直线C．两条射线D．双曲线
变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1(-3,0),F2(3,0)，满足条件PF1-PF2=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，m可以是（ ）
A．12B．2C．-1D．-3
变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线x29-y216=1的左右焦点分别是F1与F2,M是双曲线右支的一点，且MF1=7，则MF2= ．
变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线x24-y23=1右支上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为 .
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别是F1(-13,0)，F2(13,0)，点P在双曲线C上，且PF1-PF2=10，则双曲线C的方程是（ ）
A．x25-y212=1B．x212-y25=1C．x2144-y225=1D．x225-y2144=1
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若a=6,b=8，则其标准方程是（ ）
A．y236-x264=1B．x264-y236=1C．x236-y264=1D．x236-y264=1或y236-x264=1
变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,5，F20,-5，P是双曲线上一点且满足PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x216-y29=1B．x29-y216=1C．y216-x29=1D．y29-x216=1
变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为5,0，一个顶点为3,0，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A．y216-x29=1B．x225-y29=1
C．x225-y216=1D．x29-y216=1
变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0,4)，F2(0,-4)，P是双曲线上一点且PF1-PF2=6，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x27-y29=1B．x29-y27=1C．y29-x27=1D．y27-x29=1
变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点(433,23)且焦点为0,-5，0,5的双曲线的标准方程是 ．
变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线Γ经过两点A-2,-3，B153,2，则双曲线Γ的标准方程是 ．
变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点4,13，则双曲线C的标准方程为 .
变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为 ．
变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点P(4,2)与Q(26,22)的双曲线的标准方程．
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线x2k+4+y2k-1=1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A．-4,1B．-∞,-4∪1,+∞
C．-4,1D．-∞,-4∪1,+∞
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程x24-t+y2t-2=1所表示的曲线为C，有下列命题：①若曲线C为椭圆，则24或t<2；③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3以上命题正确的是（ ）
A．②③B．①④C．②④D．①②④
变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程x2k+1+y2k-2=1表示双曲线，则实数k的取值范围为（ ）
A．-1,2B．-∞,-1
C．2,+∞D．-∞,-1∪2,+∞
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线，则m的取值范围是 .
变式4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程x2+my2-m=0表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程mx2+1-my2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为 .
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程x2k-1+y2k-3=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为 ．
变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程y24-x2m-1=1表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知x2m-3+y211-m=1，当m为何值时，
(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【题型4：焦点三角形】
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，PF1=3PF2，则∠F1PF2的大小为（ ）
A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘
变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设F1，F2分别是双曲线C：x2-y22=1的左､右焦点，P为C上一点且在第一象限若PF1=2PF2，则点P的纵坐标为（ ）
A．1B．3C．2D．23
变式2．（2022·全国·模拟预测）设F1，F2是双曲线x24-y212=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1=5PF2，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．24B．152C．123D．30
变式3．（2022高三·全国·专题练习）设F1,F2是双曲线C:x24-y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，PQ⊥x轴于点Q，且Q在线段F1F2上，PQ2=F1Q⋅F2Q，则F1P+PF2=（ ）
A．4B．6C．210D．40
变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2，点P是它们的一个公共点，则△F1PF2的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线y23-x25=1的两个焦点分别是F1,F2，点A,B在双曲线上，且线段AB经过焦点F1，AB=5，则△ABF2的周长为 .
变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线x2-y24=1的左右两个焦点为F1，F2，第二象限内的一点P在双曲线上，且∠F1PF2=2π3，则三角形F1PF2的面积是 ．
变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知F1、F2是双曲线x216-y29=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么PF2+QF2-PQ的值是 ．
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式＝eq \f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq \f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：S∆PF1F2=b2tanθ2
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆C:x2+(y-4)2=1上有一动点P，双曲线M:x29-y27=1的左焦点为F，且双曲线的右支上有一动点Q，则PQ+QF的最小值为（ ）
A．42-1B．42-5C．42+7D．42+5
变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆x29+y225=1的一个焦点为F，双曲线x24-y25=1的左、右焦点，分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则△PFF2周长的最小值为（ ）
A．5B．5+3C．10D．14
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．9B．5C．8D．4
变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆x2+(y-3)2=1上的点，点P在双曲线x24-y212=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9B．25+4C．8D．7
变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知F是双曲线C：x29-y27=1的右焦点，P为C右支上一点，A4,1，则PA+PF的最小值为（ ）
A．65-3B．65-6C．65+6D．2
变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线x23-y2=1的左右焦点分别为F1､F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为-2,3，则PQ+PF1的最小值为 .
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为x2-y24=1，如图所示，点A-5,0，B是圆x2+y-52=1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则MA+MB的最小值为
变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点A-2,0，B2,0，C3,11，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 .
变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若P是双曲线x2-y248=1的右支上的一点,M,N分别是圆(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知M-2,0，圆C: x2-4x+y2=0，动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．x2-y23=1x≥1B．x23-y2=1x≥3
C．x2-y23=1D．x23-y2=1
变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点M(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=4，则动点M的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点F1-2,0和F22,0的连线的斜率之积等于14，则点P的轨迹方程为 ．
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点A-2,0点B(2,0)，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于34动点P的轨迹方程为 .
变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点Mx,y与定点F0,3的距离和它到直线l:y=43的距离的比是常数32，则动点M的轨迹方程是 ．
变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，已知AB=42，且三内角A，B，C满足2sinA+sinC=2sinB，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .

变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点A-3,0，B3,0构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.
变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-17,0，F217,0,MF1-MF2=2，点M的轨迹为C.求C的方程；
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标x,y，根据题意列出关于x,y的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把x,y分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将x0=gxy0=hx代入fx0,y0=0.
一、单选题
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆C1：x+32+y2=1和圆C2：x-32+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2-y28=1x≥1B．x2-y28=1
C．x2-y28=1x≤-1D．y28-x2=1
2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设P是双曲线x216-y220=1上一点，F1,F2分别是双曲线左右两个焦点，若PF1=9，则PF2等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．5或13
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线C:x28+y2m=1(m≠0,m≠8)，则“m∈(0,8)”是“曲线C的焦点在x轴上的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：x2-y2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C的方程为（ ）
A．x2-y2=1B．y2-x2=1C．x2-y2=2D．y2-x2=2
5．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为4，焦点为-4,0,4,0，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．x24-y212=1B．x212-y24=1
C．x2-y25=1D．y25-x2=1
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）设A,B两点的坐标分别为-3,0，(3,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为23，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x29+y26=1x≠±3B．x26-y29=1x≠±3
C．y29+x26=1x≠±3D．x29-y26=1x≠±3
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点A-1,0,B1,0，动点Px,y满足tan∠PAB⋅tan∠PBA=-2，则点P的轨迹方程是（ ）
A．x2-y22=1B．x2-y22=1y≠0
C．x2+y22=1D．x2+y22=1y≠0
8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点2,2且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．x26-y28=1B．y26-x28=1C．x22-y24=1D．y22-x24=1
二、多选题
9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线．现有方程mx2+y2-4y+4=x-3y+1 表示的曲线是双曲线，则实数m的取值可能为（ ）
A．22B．3C．23D．4
10．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：x21-m+y23+m=1（m∈R），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则-1C．Γ可能是半径为2的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则m<-3
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|＝5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB＝1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB＝2
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y24=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是C上一点，且PF1=6PF2，写出C的一个标准方程 ．
13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则PF1⋅PF2的最小值为 ．
14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个焦点为F1、F2，点A3,1在双曲线C上，且满足AF1⋅AF2=0，则双曲线C的标准方程为 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x216-y24=1有相同的焦点，且经过点32,2；
(2)过点P3,154，Q-163,5且焦点在坐标轴上．
16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知p：点M1,3不在圆x+m2+y-m2=16的内部，q：“曲线C1:x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，s：“曲线C2:x2m-t+y2m-t-1=1表示双曲线”．
(1)若p和q都成立，求实数m的取值范围；
(2)若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．
17．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知圆M:x2+y2+4x-8=0，H(2,0)，G为M上的动点，线段GH的垂直平分线交直线GM于点Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)设直线QH的倾斜角为α，直线QM的倾斜角为β，点Q不在x轴上，若α=2β，求点Q的坐标.
18．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别是F1，F2.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且∠F1PF2=60，求△F1PF2的面积.
19．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆M：x2+y2+4x=21，圆N：x2+y2-4x=5．
(1)求经过点P-2,3以及圆M与圆N交点的圆的方程；
(2)若动圆T和圆M、圆N均外切，求T点的轨迹方程.
课程标准
学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的
学习，培养数学抽象素养
2.借助于双曲线标准方程的推导过
程，提升逻辑推理、数学运算素养
1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题
2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题: