高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质学案，共9页。
双曲线的几何性质新课程标准解读核心素养1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质直观想象2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用数学运算 如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．[问题]　你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1 (a>0，b>0)性质图形范围x≤－a或 x≥a，y∈y≤－a或 y≥a，x∈对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：离心率e＝∈(1，＋∞)渐近线y＝±xy＝±x1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)；(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：(1)有相同的渐近线；(2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.　1．能否用a，b表示双曲线的离心率？提示：能. e＝＝＝.2．离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示：有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　)(3)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)A．(4，0)，(0，1)　　　　　  B．(－4，0)，(4，0)C．(0，1)，(0，－1)     D．(－4，0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)A．－＝1B．－＝1或－＝1C．－＝1D．－＝1或－＝1答案：B4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．答案：5双曲线的几何性质角度一　由双曲线方程求解几何性质[例1]　(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．[解析]　双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.[答案]　(3，0)　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．[注意]　求性质时一定要注意焦点的位置．　　角度二　求双曲线的离心率[例2]　(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．[解析]　由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.[答案]　求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．　[跟踪训练]1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x　　　　　  B．y＝±xC．y＝±2x     D．y＝±x解析：选B　由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝± x＝±x.故选B.2．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．解析：由双曲线的一条渐近线方程为y＝x得＝，则该双曲线的离心率e＝＝ ＝.答案：3．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.答案：(2，＋∞)由双曲线的几何性质求标准方程角度一　构造方程组求双曲线的标准方程[例3]　(链接教科书第149页习题A3题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分．[解]　 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.由几何性质求双曲线标准方程的步骤(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式；(2)根据双曲线的几何性质建立关于a，b，c的方程(组)，并解出a，b的值；(3)写出双曲线的标准方程．　　　 角度二　利用渐近线求双曲线的标准方程[例4]　求过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．[解]　法一：当焦点在x轴上时，可知＝，故可设所求双曲线的方程为－＝1，代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；当焦点在y轴上时，可知＝，故可设所求双曲线的方程为－＝1，代入点(2，－2)得a2＝2.所以所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，化为标准方程为－＝1. 已知渐近线设双曲线标准方程的方法(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；(2)若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；(3)若双曲线的渐近线方程为mx＋ny＝0或mx－ny＝0，则双曲线的方程可设为(mx＋ny)(mx－ny)＝λ(λ≠0)，即m2x2－n2y2＝λ(λ≠0).　　　[跟踪训练]求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝.当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.双曲线性质的应用[例5]　(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)A．4     B．8C．16     D．32[解析]　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.[答案]　B1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．　　[跟踪训练]已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.答案：1．(2019·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)A．　　　　　　　　　　  B．4C．2     D．解析：选D　由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴ c2＝a2＋1.∴ 5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.故选D.2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)A．     B．C．1     D．解析：选B　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为.3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是________．解析：若双曲线的焦点在x轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝4，所以此时双曲线的标准方程为－＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝1，所以此时双曲线的标准方程为y2－＝1.综上可知：该双曲线的标准方程是－＝1或y2－＝1.答案：－＝1或y2－＝14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线x－y＝0，∴1＝＝.∴a＝2，又＝，∴b＝，∴双曲线方程为－y2＝1.答案：－y2＝15．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程．解：由已知c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，则解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.