高中数学2.6.2 双曲线的几何性质优质课件ppt

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2.6.2 双曲线的几何性质(1) 本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习双曲线的几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法  运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学  课程目标学科素养A.掌握双曲线的简单几何性质.B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.1.数学抽象：双曲线的几何性质2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质 3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质 4.直观想象：双曲线的几何性质 重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质； 难点：运用方程推出双曲线的相关几何性质多媒体 教学过程教学设计意图核心素养目标一、    创设问题情境已知双曲线C的方程为根据这个方程完成下列任务：
（1）已观察方程中与是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
（2）指出双曲线C是否关于轴、 轴、原点对称；
（3）指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；（4）如果（ ， ）满足双曲线C的方程,说出当增大时，怎样变化，并指出反应了双曲线的形状具有什么特点.   一般地，如果双曲线C的标准方程是  (>0，>0)，可得到双曲线的几何性质为？（1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围；
（2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线形状有什么联系，并尝试证明.因为另外，注意到=  说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.思考(1)双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?提示:双曲线的离心率e=反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.(2)一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?提示:1个.如果双曲线C的标准方程是  (>0，>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？双曲线的几何性质 标准方程图形 标准方程性质范围x≤-a或x≥a  y∈Ry≤-a或y≥a  x∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线    y=± x y=± x离心率a,b,c间的关系         c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) (1)双曲线与椭圆的六个不同点:  双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>10<e<1a,b,c关系a2+b2=c2a2-b2=c2(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为      .(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.1.判断 (1)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的形状相同. (　　)(2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同. (　　)(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. (　　)答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为(　　)A.-5　　　B.-35           C.19     D.-11解析:由圆锥曲线=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,所以m<-8,∴e==2,解得m=-35.答案:B 二、典例解析例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,即=1,所以a=3,b=2,c=. 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=, 渐近线方程为y=±x=±x.由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.跟踪训练1   求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为=1(m>0,n>0),由此可知,半实轴长a=,半虚轴长b=,c=,焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e=,顶点坐标为(-,0),(,0),所以渐近线方程为y=± x,即y=±x.例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-),离心率为;(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),∵e=,∴=2,即a2=b2.①又双曲线过P(3,-),∴=1,②由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),同理有a2=b2,③=1,④由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,∴焦点是F1(-,0),F2(,0).因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由已知条件,有解得∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.(3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为=1.1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ<a2).(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). 跟踪训练2  求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;(2)过点(2,0),与双曲线=1离心率相等.解:(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=, 从而b=4,c=a, 代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=, 故所求双曲线的标准方程为-y2=1.      通过具体的双曲线方程，类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。                                   推广到一般地双曲线方程，讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养。                                          通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。                        通过典型例题，进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三、达标检测1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(　　) A.4 B.-4 C.- D.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-,故选C.答案:C 2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (　　)A.C的方程为=1           B.C的离心率为C.焦点到渐近线的距离为3        D.|PF|的最小值为2解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以,因为c=5,所以b=4,a=3,所以C的方程为=1,A正确;离心率为e=,B不正确;焦点到渐近线的距离为d==4,C不正确;|PF|的最小值为c-a=2,D正确.答案:AD 3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是　　　　　. 解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),∴c=4,a2=b2=c2=×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.答案:x2-y2=84.关于双曲线=-1,有以下说法:①实轴长为6;②双曲线的离心率是;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±x;⑤焦点到渐近线的距离等于3.正确的说法是　　　　　.(把所有正确说法的序号都填上) 解析:∵双曲线=-1,即=1,∴a=4,b=3,c==5,∴①实轴长为2a=8,故①错误;②双曲线的离心率是e=,故②正确;③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;④渐近线方程是y=±x,故④正确;⑤焦点到渐近线的距离为d==3,故⑤正确.答案:②④⑤ 5.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　　. 解析:根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12. 双曲线图像如图.|PF|-|AP|=2a=4,①    |QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.答案:326.已知双曲线C1:x2-=1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点,当=3时,求实数m的值.解:(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0),设双曲线C2的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得∴双曲线C2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,由可得x=m,y=2m,∴A(m,2m).由可得x=-m,y=m,∴B.  ∴=-m2+m2=m2.∵=3,  ∴m2=3,即m=±.    通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。 四、小结五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。