人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品随堂练习题

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常见考法
考点一 判断是否为等差数列
【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．10，8，6，4，2
【答案】C
【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足 SKIPIF 1 < 0 （常数），所以是等差数列；
B中， SKIPIF 1 < 0 （常数），所以是等差数列；
C中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足 SKIPIF 1 < 0 （常数），所以是等差数列.故选：C.
根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可
【一隅三反】
1．（2019·山西应县一中期末（理））若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．
B: SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 与n有关系，因此不是等差数列.
C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；
D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C
2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ）
① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，…
③ 0，0，0，0，… ④ SKIPIF 1 < 0 …
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】第一个数列是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.第四个是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.故有 SKIPIF 1 < 0 个等差数列，所以选C.
3．（2020·全国课时练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ，c为常数，那么下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列时，不一定是等差数列
B．若 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列时，一定不是等差数列
C．若是等差数列时， SKIPIF 1 < 0 一定是等差数列
D．若不是等差数列时， SKIPIF 1 < 0 一定不是等差数列
【答案】D
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；
对于数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；
当c为0时， 0，0，0，0是等差数列，但 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列，C错．故选D．
考点二 求等差数列的项或通项
【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由 SKIPIF 1 < 0 =4， SKIPIF 1 < 0 确定的等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，当an=28时，序号 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．9B．10C．11D．12
（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D． SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
故选：A；（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：C
【一隅三反】
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．5
C．11D．13
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 =2， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．96B．98C．100D．102
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 =2， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：D
3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以5为首项，3为公差的等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
考点三 等差中项
【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则a,b的等差中项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_________.
【答案】（1）A（2）16
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选A.
（2）由题可得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
【一隅三反】
1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】60；
【解析】 SKIPIF 1 < 0 在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：60
2．（2020·全国其他（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为6，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为6，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项为 SKIPIF 1 < 0 ，则此数列的首项 SKIPIF 1 < 0 =______ ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点四 证明数列为等差数列
【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}满足当n＞1时，an＝ SKIPIF 1 < 0 ，且a1＝ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)见证明；(2) a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
【解析】(1)证明：根据题意a1＝ SKIPIF 1 < 0 及递推关系an≠0.因为an＝ SKIPIF 1 < 0 .取倒数得 SKIPIF 1 < 0 ＋4，
即 SKIPIF 1 < 0 ＝4(n＞1)，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为5，公差为4的等差数列．
(2)解：由(1)，得 SKIPIF 1 < 0 ＝5＋4(n－1)＝4n＋1， SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，解得n＝11.
所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 。
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列。
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值。
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 。
易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 。所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列。
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 。
2．（2019·全国课时练习）已知数列中，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列中的最大项和最小项．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．
【解析】（1）因为，，
所以
又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）由（1）知，则．
设，则在区间和上为减函数．
所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．
故数列中的最小项为且，最大项为且．
3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝ SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1) 见证明；(2) an＝ SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即bn＋1－bn＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴{bn}是等差数列．
(2)∵b1＝1，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴an＝ SKIPIF 1 < 0 .
考点五 等差数列的单调性
【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】在 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，即充分性成立；若数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，则必有 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性成立，所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列”的充分必要条件.故选：C.
【一隅三反】
1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）
A．d>3B．d SKIPIF 1 < 0 C．3≤d SKIPIF 1 < 0 D．3