第13讲函数的极值（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数极值的定义，能够通过导数求解函数的极值问题
2.能掌握函数极值与图像的关系
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的极值与不等式等问题
4.掌握函数图像与极值的关系
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式求解函数的极值，或通过极值求参数的取值范围等。
知识讲解
知识点一.函数的极值
函数极值的定义：
如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)0(0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值．
注意 对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
知识点二.三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x10
(2)a0是（ ）
A．偶函数，且没有极值点B．偶函数，且有一个极值点
C．奇函数，且没有极值点D．奇函数，且有一个极值点
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.
【详解】当x≤0时，−x>0，则f(−x)=(13)−x=3x=f(x)，
当x>0时，−x0相邻极值点的距离为π2，则ω为（ ）
A．3B．4C．1D．2
【答案】D
【分析】
由题意，根据函数极值点的定义可得T2=π2，结合公式T=2πω计算即可求解.
【详解】因为函数f(x)的相邻极值点之间的距离为π2，
所以T2=π2，得T=π，又T=2πω，
所以ω=2.
故选：D
1.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A．fx=xsinxB．fx=x+1x
C．fx=ex+1exD．fx=x+1−x−1
【答案】B
【分析】根据函数的奇函数和极值点的概念，结合导数，逐项分析判断即可得解.
【详解】对A，x∈R，f(−x)=(−x)sin(−x)=xsinx=f(x)，故f(x)为偶函数，不符题意；
对B，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=−x−1x=−f(x)为奇函数，
f'(x)=1−1x2=0，得x=±1，
当x∈(0,1)时f'(x)0，解得x1，
所以f(x)在(−∞,−2),(1,+∞)上单调递增，在(−2,1)上单调递减，
所以f(x)的极小值为f(1)=(1−1−1)e1−1=−1，故选A．
【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2.（2024·全国·高考真题）已知函数fx=1−axln1+x−x．
(1)当a=−2时，求fx的极值；
(2)当x≥0时，fx≥0，求a的取值范围．
【答案】(1)极小值为0，无极大值.
(2)a≤−12
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就a≤−12、−120，
设sx=−aln(1+x)−a+1x1+x,x>0，
则s'x=−ax+1−a+11+x2=−ax+1+a+11+x2=−ax+2a+11+x2，
当a≤−12时，s'x>0，故sx在0,+∞上为增函数，
故sx>s0=0，即f'x>0，
所以fx在0,+∞上为增函数，故fx≥f0=0.
当−120；
当10，
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2−ln2,+∞)，减区间为(1,2−ln2)，
函数f(x)的极大值为f(1)=2e−1.
2.（2024·江苏·三模）已知函数fx=ax−2sinx,x∈0,π.
(1)若a=1，求fx的极小值；
(2)若fx是单调函数，求a的取值范围.
【答案】(1)π3−3
(2)−∞,−2∪2,+∞
【分析】（1）求导后，借助导数可得其单调性，即可得其极小值；
（2）求出导数后，分fx是单调递增函数与单调递减函数讨论即可得.
【详解】（1）当a=1时，fx=x−2sinx，f'x=1−2csx，
令f'x=0，由x∈0,π，则x=π3，
当00，即fx在π3,π上单调递增，
故fx的极小值为fπ3=π3−2×32=π3−3；
（2）f'x=a−2csx，
若fx在0,π上单调递增，则f'x≥0恒成立，
即a≥2csx对∀x∈0,π恒成立，则a≥2csx恒成立，又csx∈−1,1，故a≥2，
若fx在0,π上单调递减，则f'x≤0恒成立，
即a≤2csx对∀x∈0,π恒成立，则a≤2csx恒成立，故a≤−2，
综上所述，a的取值范围为−∞,−2∪2,+∞.
3.（23-24高三上·广东江门·开学考试）已知函数fx=ax2−bx+lnx,a,b∈R.
(1)若a=1,b=3，求函数fx的单调区间及极值；
(2)若b=0时，不等式fx≤0在1,+∞上恒成立，求参数a的取值范围.
【答案】(1)fx的单调递增区间为012,1,+∞，单调递减区间为12,1；fx的极大值为−54−ln2，极小值为-2
(2)−∞,−12e
【分析】（1）利用导数求出单调区间，即可求出极值；
（2）问题等价于a≤−lnxx2在区间1,+∞恒成立，设gx=−lnxx2,x≥1，利用导数求gx最小值即可得a的取值范围.
【详解】（1）a=1,b=3时，fx=x2−3x+lnx，函数定义域为0,+∞，
f'x=2x−3+1x=2x−1x−1x，
令f'x>0，解得：00，得x0．
(1)若函数fx在x=3处的切线与x轴平行，求a的值；
(2)求fx的极值点；
(3)若fx在0,+∞上的最大值是0，求a的取值范围．
【答案】(1)a=14；
(2)答案见解析；
(3)1,+∞．
【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得a的值；
（2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点；
（3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得a的取值范围；
【详解】（1）函数fx的定义域为−1,+∞，
f'x=−ax+1−11+x，
因为函数fx在x=3处的切线与x轴平行，
所以f'3=−3a+1−11+3=0，解得a=14．
（2）函数fx的定义域为−1,+∞，
f'x=−ax+1−11+x=−ax1+x+1+x−11+x=x1−a−ax1+x．
令f'x=0得x1=0或x2=1−aa=1a−1，
所以当1a−11时，
f'x>0的解集为1a−1,0，f'x0的解集为0,1a−1，f'x1时，x=0是函数fx的极大值点，x=1a−1是函数fx的极小值点；
当a=1时，函数fx在区间−1,+∞上严格减，无极值点；
当00，此时函数fx单调递增，无极值．
a>0时，令f'x=ex−a=0，解得x=lna．
则x>lna时，f'x>0，此时函数fx单调递增；
x0，
u'x=−2xex−x2ex−ex+ex+xex=−xex−x2ex0时，求函数的单调区间和极值
(2)若fx在区间1,e2内恰好有两个零点，求b的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为b,+∞，单调递减区间为0,b，极小值为fb=b1−lnb2，无极大
(2)e0，令f'x>0，即x2−b>0，解得x>b，
令f'x0，讨论a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为a≤3x+lnxx，在x∈0,e时有解，再构造函数gx=3x+lnxx，x∈0,e，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1）f'x=a−1x=ax−1x,x>0，
当a≤0时，f'x0时，令 f'x=0，得x=1a，
f'x0，gx单调递增，
当1e20，−30，解得即可.
【详解】函数fx=x2−x+alnx的定义域为0,+∞，且f'x=2x−1+ax=2x2−x+ax，
因为函数fx有极值，所以f'x在0,+∞上有变号零点，
即2x2−x+a=0在0,+∞上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数y=2x2−x+a的对称轴为x=14，开口向上，
所以只需Δ=−12−8a>0，解得a0，得x0，
由f'x=3x2+3x0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，
即fx=3x4−4x3在x=1处取得极小值-1，符合题意，
故a=3,b=−4.
（2）g'x=f'x−m=12x3−12x2−m≥0在−1,1上恒成立，
即m≤12x3−12x2在x∈−1,1内恒成立.
令ℎx=12x3−12x2,x∈−1,1，
则ℎ'x=12x3x−2，令ℎ'x>0，得−10，
函数fx在−∞,−1,2,4上时，导数f'x0，解得10⇒x1，f'x0，此时函数f(x)单调递增，
则f(x)在x=12处取得极小值，
所以f(x)的单调递减区间为0,12，单调递增区间为12,+∞，
因此极小值为f12=1+ln2，无极大值．
7．（2024·山东潍坊·二模）已知函数fx=x−1ex−ax2+b，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=e−2x+3−e．
(1)求实数a，b的值；
(2)求fx的单调区间和极值．
【答案】(1)a=1，b=2
(2)单调递增区间是−∞,0，ln2,+∞，单调递减区间是0,ln2，极大值为1，极小值为2ln2−ln22.
【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导分析导函数的正负区间进而求解极值即可.
【详解】（1）由题可得f'x=xex−2ax，
由题意f'1=e−2a=e−2，故a=1，
又f1=−1+b=e−2×1+3−e=1，故b=2.
（2）由（1）可得f'x=xex−2x=xex−2，
令f'x>0可得x>ln2或x0,gx在0,x0单调递增；当x>x0时，g'x0），x∈R，若函数fx在区间0,2π上恰有3个极大值点，则ω的取值范围为（ ）
A．136,196B．136,196．C．1312,1912D．1312,1912
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简得到fx=sin2ωx+π6，从而得到2ωx+π6∈π6,4ωπ+π6，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.
【详解】fx=3sinωxcsωx−12sin2ωx−π2=32sin2ωx+12cs2ωx=sin2ωx+π6，
x∈0,2π，2ωx+π6∈π6,4ωπ+π6，
函数fx在区间0,2π上恰有3个极大值点，
故9π20
∵x>0∴x+2>0
令f'x=0，则x=a，当x变化时，f'x与fx变化如下表：
故f(x)min=fa=−aea.
要证当0aa−1.
法一：
只需证当00，
当x10的解，由此求得gx的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间−∞,0，0,x1，x1,x2与x2,+∞上f'x的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得fx的极值点个数.
【详解】（1）因为f(x)=x−x3eax+b,x∈R，所以f'x=1−3x2+ax3eax+b，
因为fx在(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1，
所以f(1)=−1+1=0，f'(1)=−1，
则1−13×ea+b=01−3+aea+b=−1，解得a=−1b=1，
所以a=−1,b=1.
（2）由（1）得gx=f'x=1−3x2−x3e−x+1x∈R，
则g'x=−xx2−6x+6e−x+1，
令x2−6x+6=0，解得x=3±3，不妨设x1=3−3，x2=3+3，则00，解得x0，则fx单调递增，
所以fx在x2,+∞上无极值点；
综上：fx在−∞,0和x1,x2上各有一个极小值点，在0,x1上有一个极大值点，共有3个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断f'x1与f'x2的正负情况，充分利用f'x的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
2.（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=ex−ax−a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)e−1x−y−1=0
(2)1,+∞
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+lna−1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f'(x)=ex−a有零点，可得a>0，进而利用导数求fx的单调性和极值，分析可得a2+lna−1>0，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当a=1时，则f(x)=ex−x−1，f'(x)=ex−1，
可得f(1)=e−2，f'(1)=e−1，
即切点坐标为1,e−2，切线斜率k=e−1，
所以切线方程为y−e−2=e−1x−1，即e−1x−y−1=0.
（2）解法一：因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex−a，
若a≤0，则f'(x)≥0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)0，
若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)0等价于ga>g1，解得a>1，
所以a的取值范围为1,+∞.
3．（天津·高考真题）函数fx的定义域为开区间a,b，导函数f'x在a,b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a,b内有极小值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】由导函数的图象可知f'x在开区间a,b内有4个零点x1,x2,x3,x4，x10，即y=ex图象在y=lna⋅ax下方
a>1，图象显然不符合题意，所以0x2，不符合题意；
若00，即x01故lnax0=x0lna=lnelna2>1，所以1e0).在定义域下求导函数的零点：x=0或x=1a，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即f(x)的单调增区间是(0,1a)，单调减区间是(−∞,0)和(1a,+∞)，当x=0时，f(x)取极小值0，当x=1a时，f(x)取极大值13a2， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的x1∈(2,+∞)，都存在x2∈(1,+∞)，使得f(x1)⋅f(x2)=1”等价于两个函数值域的包含关系.设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},，集合B={1f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则A⊆B，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于0∉B，所以0∉A,因此32a≤2，又A⊆B，所以f(1)≥0，即34≤a≤32.
解(1)由已知有f'(x)=2x−2ax2(a>0).令f'(x)=0，解得x=0或x=1a，列表如下：
所以f(x)的单调增区间是(0,1a)，单调减区间是(−∞,0)和(1a,+∞)，当x=0时，f(x)取极小值0，当x=1a时，f(x)取极大值13a2，(2)由f(0)=f(32a)=0及（1）知，当x∈(0,32a)时，f(x)>0，当x∈(32a,+∞)时，f(x)2即00，g'x单调递增，
故g'x的最小值为g'12a−1=1−2a+ln2a，
令mx=1−x+lnx04a2+116a2−4a2−14a+4a2+1=4a2+112a2−14a+4a2+1>0，
所以函数gx在区间0,+∞上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数a得取值范围是0,12.
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
8．（2021·全国·高考真题）设函数fx=lna−x，已知x=0是函数y=xfx的极值点．
（1）求a；
（2）设函数g(x)=x+f(x)xf(x)．证明:gx0，φt单增，故φt>φ1=0；
综上所述，g(x)=x+ln1−xxln1−x