第12讲 函数的单调性与最值（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断 通过导数的正负判断函数的单调性
2.能掌握集合函数最值与导数的关系
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值
4.会通过函数的单调性解抽象不等式.
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。
知识讲解
知识点一.函数的单调性
1.函数的单调性与导数的关系
2.常用结论
（1）在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
（2）可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
知识点二．函数的最值与导数
1.函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2.求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
（1）求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
（2）将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3.常用结论.
（1）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
（3）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
考点一、不含参函数的单调性与单调区间
1.（广东·高考真题）设函数fx=xlnx，则fx的单调递增区间为 ．
2.（重庆·高考真题）设函数f(x)=x3+ax2−9x−1(a0，则不等式fx+2024−x+20242f−10，且f(2)=2，则不等式(x+1)3f(x+1)>16的解集为（ ）
A．(1,+∞)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)
5.（2024·江西南昌·三模）已知函数f(x)的定义域为R，且f2=−1，对任意x∈R，f(x)+xf'(x)−2的解集是（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
1．（2020高三·山东·专题练习）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）．
A．−∞,13B．13,+∞C．−∞,13D．13,+∞
2．（23-24高三上·天津东丽·期中）函数f(x)=12x2+csx，则不等式f(lnx)>f(1)的解集为（ ）
A．(0,e)B．(e,+∞)C．1e,eD．0,1e∪(e,+∞)
3．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知fx=2x2−ax+lnx在区间1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是 .
4．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）若函数fx=x3−3ax2−2x+5在0,1内单调递减，则实数a的取值范围是
5．（20-21高三下·天津静海·阶段练习）已知函数f(x)=12x2−2alnx+(a−2)x.
（1）当a=−1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数g(x)=f(x)−ax在(0,+∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
6．（20-21高三上·天津·期中）设函数fx=x3+mx+1，曲线y=fx在点1,f1处的切线与x轴平行.
（1）求实数m；
（2）求fx的单调区间.
7．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数fx=lnx+mx.
(1)当m=2时，求fx在1,f1处的切线方程；
(2)讨论fx的单调性；
(3)若fx≥3−x恒成立，求m的取值范围.
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx=ax−sinxcs3x,x∈0,π2，
(1)当a=0时，求fx在点π4,fπ4处的切线方程；
(2)当a=8时，讨论函数fx的单调性；
(3)若fx0，且ab>1，求证：fa+fb0时，求函数y=fx的单调区间；
(3)在（2）的条件下，当x∈1,3时，12≤fx≤1，求实数a的取值范围.
5．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数f(x)=(x−1)ex+ax2，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a1时，证明：fx>xlnx−acsx.
7．（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=lnx+a+1x+1，a∈R，gx=xex．
(1)若曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为3，求a的值；
(2)当x≥−2 时，函数y=gx−m+2有两个不同零点，求m的取值范围；
(3)若∀x∈0,+∞，不等式g'x−fx≥ex恒成立，求实数a的取值范围．
1.（重庆·高考真题）设函数fx=x3−3ax2+3bx的图象与直线12x+y−1=0相切于点1,−11．
(1)求a，b的值；
(2)求函数fx的单调区间．
2.（海南·高考真题）设函数fx=ln2x+3+x2
(1)讨论fx的单调性；
(2)求fx在区间−34,14的最大值和最小值．
3.（北京·高考真题）已知函数f(x)=In(1+x)-x+k2x2(k≥0)．
(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间．
4.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=1x+aln1+x．
(1)当a=−1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程．
(2)若函数fx在0,+∞单调递增，求a的取值范围．
5.（天津·高考真题）若函数fx=lgax3−ax（a>0且a≠1）在区间−12,0内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．14,1B．34,1C．94,+∞D．1,94
6.（2022·全国·高考真题）函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2
7.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)
2023年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零
2021年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析
2020年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式
条件
结论
函数y＝f(x)在
区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)内是常数函数