第16讲 三角函数的概念与运算（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，单独出题比较少，一般与三角函数、正余弦定理结合出题
【备考策略】1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值
2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式
3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值
4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般结合三角函数与正余弦定理一起出题。
知识讲解
知识点一.三角函数的定义
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．
(2)象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的相关概念
(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
如图，在单位圆O中，eq \(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
(3)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad，1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°．
(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．
3．三角函数的概念
4.常用结论
（1）一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
（2）三角函数在每个象限的正负如下表：
（3）象限角
（4）轴线角
5．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
知识点二．同角三角函数的基本关系
1.平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
2.商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
3．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)．
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
(3)(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
知识点三．三角函数的诱导公式
1.诱导公式
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
3．同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；
cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
(2)sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
(3)sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)；
cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
考点一、任意角与弧度制
1.（2015·山东·高考真题）终边在y轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．xx=π2+2kπ,k∈ZB．xx=π2+kπ
C．xx=−π2+2kπ,k∈ZD．xx=−π2+kπ,k∈Z
2.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合A=x2kπ+π6