第07讲 指数函数（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域
2.能掌握指数函数的图像特征
3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题
4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。
知识讲解
知识点一.指数函数的图象与性质
1.指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
知识点二.指数函数图象的特点
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3.函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
注意 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及01，故指数函数底数应大于1，函数可为：fx=2x.
故答案为：fx=2x
2.（2020高三·全国·专题练习）函数y=(2a2−3a+2)ax是指数函数，则a的取值范围是
【答案】{12}
【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于a的取值范围.
【详解】解：∵函数y=(2a2−3a+2)ax是指数函数，∴2a2−3a+2=1且a>0，a≠1，由2a2−3a+2=1解得a=1或a=12，∴a=12.所以a的取值范围为：{12}.
故答案为：{12}.
【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.
3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数fx=ax+b,x0 , 2x0,a≠1)过定点P，且P点在直线mx+ny=1(m>0,n>0)上，则1m+2n的最小值= ．
【答案】8+43/43+8
【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.
【详解】fx=ax−2+2(a>0,a≠1)经过定点2,3，代入直线得2m+3n=1，
1m+2n=1m+2n2m+3n=8+3nm+4mn≥8+23nm⋅4mn=8+43，
当且仅当3nm=4mn时等号成立
故答案为：8+43
故答案为：5.
考点七、指数函数的单调性
1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f(x)=−lnxB．f(x)=12x
C．f(x)=−1xD．f(x)=3|x−1|
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−lnx在0,+∞上单调递减，故A错误；
对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=1x在0,+∞上单调递减，
所以fx=12x在0,+∞上单调递减，故B错误；
对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=−x在0,+∞上单调递减，
所以fx=−1x在0,+∞上单调递增，故C正确；
对于D，因为f12=312−1=312=3，f1=31−1=30=1,f2=32−1=3，
显然fx=3x−1在0,+∞上不单调，D错误.
故选：C.
2.（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−2,0
C．0,2D．2,+∞
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数y=2x在R上单调递增，而函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，
则有函数y=x(x−a)=(x−a2)2−a24在区间0,1上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，
所以a的取值范围是2,+∞.
故选：D
1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A．fx=lnxB．fx=−tanπC．fx=x3D．fx=e−x
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对数函数f(x)=lnx在其定义域(0,+∞)上单调递增，A选项不满足条件；
f(x)=−tanπ=0为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件；
f(x)=x3在其定义域(−∞,+∞)上单调递增，C选项不满足条件；
f(x)=e−x=1ex，在其定义域(−∞,+∞)上单调递减，D选项满足条件.
故选：D.
2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f4x−x2在区间1,2上单调递减，则函数fx的解析式可以为（ ）
A．fx=4x−x2B．fx=2x
C．fx=−sinxD．fx=x
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性分析可知fx在区间3,4上单调递减，进而逐项分析判断即可.
【详解】因为t=4x−x2开口向下，对称轴为t=2，
可知内层函数t=4x−x2在区间1,2上单调递增，
当x=1，t=3；当x=2，t=4；
可知t=4x−x2∈3,4，
又因为函数y=f4x−x2在区间1,2上单调递减，
所以ft在区间3,4上单调递减，即fx在区间3,4上单调递减.
对于选项A：因为函数fx=4x−x2在区间3,4上单调递减，故A正确；
对于选项B：因为x∈3,4，则fx=2x=2x在区间3,4上单调递增，故B错误；
对于选项C：因为x∈3,4⊆π2,3π2，则fx=−sinx在区间3,4上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为fx=x在区间3,4上单调递增，故D错误.
故选：A.
3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数fx=13x−ax+2在区间−1,2上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．0,6B．−2,0C．6,+∞D．−∞,0
【答案】C
【分析】令gx=x−ax+2，结合指数型复合函数的单调性可知只需gx在区间−1,2上单调递减，结合二次函数的性质得到不等式，解得即可.
【详解】令gx=x−ax+2=x2+2−ax−2a，
因为y=13x在定义域R上单调递减，
要使函数fx=13x−ax+2在区间−1,2上单调递增，
则gx=x2+2−ax−2a在区间−1,2上单调递减，
所以a−22≥2，解得a≥6，
所以a的取值范围为6,+∞.
故选：C
4.（2024·广东广州·三模）函数fx=ax,x≤2ax2−13x+31,x>2，其中a>0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意，fx在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为a>0且a≠1，若函数是单调函数，结合二次函数可知：fx在R上单调递增，
a>1132a≤2a2≤4a+5，解得134≤a≤5.
故答案为：4（答案不唯一）.
考点八、指数函数的图像
1.（2020·山东·高考真题）已知函数y=fx是偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=ax00,b>0，
对于A，aex+be−x≥2aex⋅be−x=2ab=2，则ab=1，当且仅当aex=be−x，
即e2x=ba=1a2时取等号，此时ex=1a，x=−lna，A错误；
对于B，a+b≥2ab=2，当且仅当a=b=1取等号，B正确；
对于C，2a+2b≥22a⋅2b=22a+b≥4，当且仅当a=b=1取等号，C错误；
对于D，lnalnb≤(lna+lnb2)2=(12lnab)2=0，当且仅当a=b=1取等号，D错误.
故选：B
考点十、指数函数比较大小
1.（2023·全国·高考真题）已知函数fx=e−(x−1)2．记a=f22,b=f32,c=f62，则（ ）
A．b>c>aB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x=1，
因为62−1−1−32=6+32−42，而(6+3)2−42=9+62−16=62−7>0，
所以62−1−1−32=6+32−42>0，即62−1>1−32
由二次函数性质知g(62)