第08讲 对数函数（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质
2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题
4.能结合图像与性质解决综合型问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。
知识讲解
知识点一.对数的定义
1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝lgaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2.底数的对数是1，即lgaa＝1,1的对数是0，即lga1＝0.
知识点二．对数函数的定义
1.形如y＝lgax(a>0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
知识点三．对数函数图象的特点
1.对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限．
2.函数y＝lgax与y＝lg1ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
3.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
注意：
1．在运算性质lgaMn＝nlgaM中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在无M>0的条件下应为lgaMn＝nlga|M|.
2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．
3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及00，解得10sinx≠0，
解得12
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得x≥0x−2>0,解得x>2
故定义域为xx>2.
故答案为：xx>2
4.（23-24高三下·上海·阶段练习）函数f(x)=lg(4x−2x−2)的定义域为 ．
【答案】(1,+∞)．
【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得．
【详解】由题意4x−2x−2>0，即(2x−2)(2x+1)>0，
∴2x>2，x>1，∴定义域为(1,+∞)．
故答案为：(1,+∞)．
考点四、对数函数的值域问题
1.（23-24高三上·北京·期中）下列函数中，值域为1,+∞的是（ ）
A．y=1sinxB．y=x+1C．y=lgx+1D．y=2x+1
【答案】D
【分析】根据初等函数的性质逐一求出相应值域即可得答案.
【详解】因为−1≤sinx≤1，且sinx≠0，所以1sinx≤−1或1sinx≥1，A错误；
因为x≥0，所以x+1≥1，B错误；
因为x+1≥1，所以lgx+1≥lg1=0，C错误；
因为2x>0，所以2x+1>1，即y=2x+1的值域为1,+∞，D正确.
故选：D
2.（2024高三·全国·专题练习）函数fx=lnx+x,x∈1,e的值域为 ．
【答案】1,e+1
【分析】
利用函数的单调性可求函数的值域.
【详解】函数fx=lnx+x,x∈1,e为增函数，故其值域为1,e+1.
故答案为：1,e+1
1.（23-24高三上·上海黄浦·期中）函数y=lg3x+1lg93x在区间13,+∞上的最小值为 .
【答案】22−1
【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.
【详解】y=lg3x+1lg9(3x)=lg3x+21+lg3x，
因为x∈13,+∞，所以lg3x∈−1,+∞，故1+lg3x∈0,+∞，
故y=1+lg3x+21+lg3x−1≥21+lg3x⋅21+lg3x−1=22−1，
当且仅当1+lg3x=21+lg3x，即x=32−1时，等号成立.
故答案为：22−1.
2.（23-24高三上·河南·期中）已知函数f(x)=x2+4x+3,x2，所以fe+1=lne+1=2；
当x0，函数fx=lg2x,x≥ax−2x−3,x0，ga单调递增，当a∈a0,+∞时，g'a0，g4=lg44−1=0，所以由ga≥0解得30,a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m、n>0，则1m+2n的最小值为 .
【答案】8
【分析】求出定点A−2,−1，可得出2m+n=1，将代数式1m+2n与2m+n相乘，展开后利用基本不等式可求得1m+2n的最小值.
【详解】对于函数y=lgax+3−1a>0,a≠1，令x+3=1，可得x=−2，则y=lga1−1=−1，
故函数y=lgax+3−1a>0,a≠1的图象恒过定点A−2,−1，
因为点A在直线mx+ny+1=0上，则−2m−n+1=0，可得2m+n=1，
因为m、n>0，所以，1m+2n=2m+n1m+2n=4+4mn+nm≥4+24mn⋅nm=8，
当且仅当n=2m时，等号成立，故1m+2n的最小值为8.
故答案为：8.
2.（23-24高三上·陕西·阶段练习）函数fx=lgax+1+2x(a>0，且a≠1)的图象过定点 .
【答案】0,1
【分析】根据lga1=0，令x+1=1即可求出定点.
【详解】令x+1=1，则x=0，此时a在0,1∪1,+∞上无论取何值，fx的值总为1，故函数fx的图象过定点0,1.
故答案为：0,1
1.（23-24高三上·陕西咸阳·期中）已知函数y=lga(x−1)+4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y=f(x)的图象上，则lgf(2)+lgf(5)= .
【答案】2
【分析】令x−1=1可求得定点P的坐标，从而可求得y=f(x)的解析式，即可求解.
【详解】令x−1=1得y=4，则定点P2,4.
设幂函数f(x)=xα，将点P代入可得4=2α，则α=2，即f(x)=x2.
因此lgf(2)+lgf(5)=lg22+lg52=2lg2+2lg5=2lg2+lg5=2lg10=2.
故答案为：2.
2.（2023·江西赣州·一模）已知函数y=1+lga2−x(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在圆x2+y2+mx+m=0外，则符合条件的整数m的取值可以为 .（写出一个值即可）
【答案】5（不唯一，取m>4的整数即可）
【分析】先求定点P的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m的取值.
【详解】因为函数y=1+lga2−x的图像恒过定点1,1，所以P1,1；
因为点P在圆x2+y2+mx+m=0外，
所以12+12+m+m>0且m2−4m>0，解得−14的整数即可）.
3.（2023·青海西宁·二模）已知函数y=lga3x−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点A，若抛物线y2=2px也过点A，则抛物线的准线方程为 .
【答案】x=-1
【分析】先求出A点的坐标，再求出p即可.
【详解】因为函数y=lgax 经过定点1,0 ，所以函数y=lga3x−2+2 经过
定点A1,2，将它代入抛物线方程得22=2p×1 ，解得p=2，
所以其准线方程为x=−1；
故答案为：x=−1 .
4.（2023高三·全国·专题练习）已知数列an为等比数列，函数y=lga(2x−1)+2的图象过定点a1,a2，bn=lg2an，数列bn的前n项和为Sn，则S10的值为 ．
【答案】45
【分析】先求出函数过定点(1,2)，则等比数列an确定，由bn=lg2an，得出数列bn通项，再利用等差数列求和公式可得.
【详解】由已知y=lga(2x−1)+2，令x=1，得y=2.
所以函数y=lga2x−1+2的图象过定点(1,2)，
所以a1=1，a2=2，
由数列an为等比数列，则an=2n−1，
而bn=lg2an，于是bn=n−1，
所以数列bn是以0为首项，1为公差的等差数列，b1=0，b10=9，
则S10=0+92×10=45．
故答案为：45.
考点七、对数函数的单调性
1.（2022高三·全国·专题练习）函数fx=lg15−2x2+3x+2的单调递减区间为 ．
【答案】−12,34
【分析】求出函数的定义域，确定fx=lg15−2x2+3x+2由y=lg15u,u=−2x2+3x+2复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数fx=lg15−2x2+3x+2，
令u=−2x2+3x+2，则u=−2x2+3x+2>0,∴−120，
所以f(x)=x−sinx在(0,1)上单调递增，
所以f15>f(0)=0，即15>sin15，所以b=ln1+sin150，
所以ℎ(x)=x−65ln(x+1)在0,15上单调递减，在15,1上单调递增，
所以ℎ15