第11讲导数的概念与切线方程（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数
2.能掌握导数的几何意义与切线的性质
3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。
知识讲解
知识点一.导数的定义
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim∆x→∞fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→∞∆y∆x为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0)或y，|x=x0，即f x0=lim∆x→∞∆y∆x=lim∆x→∞fx0+∆x−f(x0)∆x
2.函数y=f(x)的导数：
f (x)=y，=lim∆x→∞fx+∆x−f(x)∆x,
3.利用定义求导数的步骤：
= 1 \* GB3 ①求函数的增量：∆y=fx0+∆x−fx0；
= 2 \* GB3 ②求平均变化率：∆y∆x=fx0+∆x−f(x0)∆x
= 3 \* GB3 ③取极限得导数：f x0=lim∆x→∞∆y∆x
知识点二.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x−f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点三.导数的运算
1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
2.导数的运算法则
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
3.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法链接
考点一、导数的定义
1.（2025高三·全国·专题练习）设函数f(x)可导，f'(1)=1则lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x= ．
【答案】13
【分析】运用导数的极限定义计算即得.
【详解】lim△x→0f(1+△x)−f(1)3△x=13lim△x→0f(1+△x)−f(1)△x=13f'(1)=13
故答案为：13．
2.（2024·湖北黄石·三模）已知函数fx=lg2x，则limx→2fx−f2x−2= .
【答案】12ln2
【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得.
【详解】f'x=1xln2，则limx→2fx−f2x−2=f'2=12ln2.
故答案为：12ln2.
1.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数fx=−12x2+lnx，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx的值为（ ）
A．eB．−2C．−12D．0
【答案】D
【分析】求出导数，由导数的定义知求f'(1)即可得解.
【详解】因为f'x=−x+1x，
所以f'(1)=−1+1=0，
所以limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=0.
故选：D
2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知a∈R，曲线y=fx经过点1,2且在该点处的切线方程为ax+y−5=0，则 limℎ→0f1+ℎ−2ℎ= .
【答案】−3
【分析】利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得.
【详解】由点1,2在直线ax+y−5=0上，得a=3，又曲线y=fx在点1,2处的切线方程为ax+y−5=0，
则f'(1)=−a=−3，而f(1)=2，所以limℎ→0f1+ℎ−2ℎ=limℎ→0f1+ℎ−f(1)ℎ=f'(1)=−3.
故答案为：−3
3.（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，则依据两个公式，类比求limx→0sinxcsxx= ；limx→0(1+sin2x)1sinxcsx= .
【答案】 1 e2
【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由极限的定义知：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，
因为sinxcsxx=sin2x2x，t=sin2x，可得sin2x2x=sintt，
则limx→0sinxcsxx=limt→0sintt=1；
又因为(1+sin2x)1sinxcsx=(1+sin2x)2sin2x，令t=sin2x，可得(1+sin2x)2sin2x=(1+t)2t，
所以limx→0(1+sin2x)1sinxcsx=limt→0(1+t)2t=limt→0[(1+t)1t]2=e2.
故答案为：1；e2.
4.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在t1时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人的f't2不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是ft3−ft2t3−t2，故③正确；④在t1,t2时间段，甲的平均变化率是ft2−ft1t2−t1，在t2,t3时间段，甲的平均变化率是ft3−ft2t3−t2，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是ft+△t−ft△t.
考点二、导数的运算与求值
1.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=（ ）
A．−1B．−12C．12D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知f1=−2，f'1=0即可解得a,b，再根据f'x即可解出．
【详解】因为函数fx定义域为0,+∞，所以依题可知，f1=−2，f'1=0，而f'x=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f'x=−2x+2x2，因此函数fx在0,1上递增，在1,+∞上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'2=−1+12=−12．
故选：B.
2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=exx+a．若f'(1)=e4，则a= ．
【答案】1
【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值
【详解】由函数的解析式可得：f'x=exx+a−exx+a2=exx+a−1x+a2，
则：f'1=e1×1+a−11+a2=aea+12，据此可得：aea+12=e4，
整理可得：a2−2a+1=0，解得：a=1.
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=2f'3x−29x2+lnx（f'x是fx的导函数），则f1=
【答案】169/179
【分析】对fx求导，代入x=3，解得f'(3)=1，回代入函数解析式，即可求得f1.
【详解】由fx=2f'3x−29x2+lnx求导，f'(x)=2f'(3)−49x+1x，
代入x=3，可得f'(3)=2f'(3)−43+13，解得，f'(3)=1，
则有，f(x)=2x−29x2+lnx，故f(1)=2−29=169.
故答案为：169.
2.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若f'1=2，则a= .
【答案】−1
【分析】求出导函数，利用f'1=2列式求解即可.
【详解】由fx=lnx+ax得f'x=1−lnx+ax2，因为f'1=1−a=2，所以a=−1.
故答案为：−1
3.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列an中，a1013=2，若函数fx=12xx−a1x−a2⋯x−a2025，则f'0=（ ）
A．−22024B．22024C．−22025D．22025
【答案】A
【分析】设gx=x−a1x−a2⋯x−a2025,则fx=12xgx，可得f'0=12g0，而g0=0−a10−a2⋯0−a2025 =−12025⋅a1a2⋯a2025，利用等比数列的项的性质即可求得.
【详解】设gx=x−a1x−a2⋯x−a2025，
则fx=12xgx，f'x=12gx+12xg'x，
所以，f'0=12g0.
因为an是等比数列，且a1013=2，a1a2025=a2a2024=⋯=a1012a1014=a10132=22，
于是，a1a2⋯a2025=(a1a2025)⋅(a2a2024)⋯(a1012a1014)⋅a2013=(22)1012×2=22025
故g0=0−a10−a2⋯0−a2025 =−12025⋅a1a2⋯a2025=−22025，
所以，f'0=12g0=−22024.
故选：A.
4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数fx=x3+2x−1，若x1+x2=0，则fx1+fx2= .
【答案】−2
【分析】利用三次函数的对称中心公式求解.
【详解】解：由题意得，f'x=3x2+2，
令gx=3x2+2，则g'x=6x，
令g'x=6x=0，解得x=0，又f0=−1，
故fx=x3+2x−1的对称中心为0,−1.
故当x1+x2=0时，fx1+fx2=2×−1=−2.
故答案为：−2
考点三、在一点处的切线方程
1.（2023·全国·高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y−e2=kx−1，
因为y=exx+1，
所以y'=exx+1−exx+12=xexx+12，
所以k=y'|x=1=e4
所以y−e2=e4x−1
所以曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为y=e4x+e4.
故选：C
2.（2020·全国·高考真题）函数f(x)=x4−2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为（ ）
A．y=−2x−1B．y=−2x+1
C．y=2x−3D．y=2x+1
【答案】B
【分析】求得函数y=fx的导数f'x，计算出f1和f'1的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
【详解】∵fx=x4−2x3，∴f'x=4x3−6x2，∴f1=−1，f'1=−2，
因此，所求切线的方程为y+1=−2x−1，即y=−2x+1.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
1．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知fx=x3+x2−x+2，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（ ）
A．y=x+2B．y=−4x+1C．y=−x+4D．y=4x−1
【答案】D
【分析】先求导，可得k=f'(1)=4，再求解f1=3，结合直线方程的点斜式即得解.
【详解】由题意f'x=3x2+2x−1，
故k=f'(1)=3+2−1=4，且f1=1+1−1+2=3，
故切线方程为：y−3=4(x−1)，即y=4x−1.
故选：D
2．（21-22高三上·天津·期中）曲线y=xex在点1,1e处的切线方程为（ ）
A．y=x−1B．y=xC．y=0D．y=1e
【答案】D
【分析】设fx=xex，求出f1、f'1的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】设fx=xex，则f'x=1−xex，则f1=1e，f'1=0，
因此，曲线y=xex在点1,1e处的切线方程为y=1e.
故选：D.
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知f(x)=x2−lnx在x=1处的切线与圆C:(x−a)2+y2=4相切，则a= ．
【答案】22或−22
【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程x−y=0，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.
【详解】由函数f(x)=x2−lnx，可得f'(x)=2x−1x，则f'(1)=1且f(1)=1，
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y−1=x−1，即x−y=0，
又由圆C:(x−a)2+y2=4，可得圆心C(a,0)，半径为r=2，
因为x−y=0与圆C相切，可得a2=2，解得a=±22.
故答案为：±22.
4．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数y=lnx−2x的导数为 ，曲线y=lnx−2x在x=1处的切线方程为 ．
【答案】 1x+2x2 3x−y−5=0
【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程.
【详解】设f(x)=lnx−2x，x>0，
则f'(x)=1x−2−1x2=1x+2x2；
所以f'(1)=3，且f(1)=−2，
即直线斜率k=3，过点(1,−2)，
故曲线y=lnx−2x在x=1处的切线方程为y+2=3(x−1)，
即3x−y−5=0，
故答案为：1x+2x2；3x−y−5=0.
考点四、过一点的切线方程
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x2．
(1)求fx在区间2023,2024上的平均变化率；
(2)求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；
(3)求曲线y=fx过点2,0的切线方程．
【答案】(1)4047；
(2)y=4x−4；
(3)y=0或y=8x−16
【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解；
（2）依次求出f2,f'2的值，利用导数的几何意义即可求切线方程；
（3）首先设出切点坐标，利用f'x0=x02−0x0−2可求出切点坐标，可得切线方程．
【详解】（1）fx在区间2023,2024上的平均变化率为
f2024−f20232024−2023=20242−20232=2024−2023×2024+2023=4047．
（2）由fx=x2，有f'x=2x，从而f2=22=4，f'2=2×2=4，
则切点坐标为2,4，切线斜率为4，
所以曲线y=fx在点2,f2处的切线方程为y−4=4x−2，即y=4x−4．
（3）易知直线x=2与曲线y=fx不相切，
故设切点为x0,x02,x0≠2，
则由f'x0=x02−0x0−2，可得2x0=x02x0−2，即x0x0−4=0，解得x0=0或x0=4，
当x0=0时，切点为(0,0)，f'x0=2x0=0，
此时满足题意的切线方程为y=0，显然它过点(2,0)，
当x0=4时，切点为4,16，f'x0=2x0=8，
此时满足题意的切线方程为y−16=8x−4，即y=8x−16，显然它过点(2,0)，
综上所述，满足题意的切线方程为y=0或y=8x−16．
2.（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．eb0，则ℎx在−∞,1单调递增，
当x∈1,+∞，ℎ'x0，解得−130且a≠1）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
【答案】(e,e)
【详解】设公共点为x0,y0 (x0>0)，即可得到ax0=x012，再由导数的几何意义得到ax0lna=12x0−12，从而求出x0，即可求出切点坐标，从而求出a，再求出切线方程.
【分析】设公共点为x0,y0 (x0>0)，则y0=x012y0=ax0，即ax0=x012，
所以x0lna=12lnx0，所以lna=12x0lnx0，
由y1'=12x−12，y2'=axlna，所以y1'|x=x0=12x0−12，y2'|x=x0=ax0lna，
又在公共点处有相同的切线，所以ax0lna=12x0−12，即x012·12x0·lnx0=12x0−12，
所以lnx0=1，则x0=e，所以y0=e，
所以公共点坐标为(e,e).
故答案为：(e,e).
2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为（ ）
A．0或2B．−2或0C．－1或0D．0或1
【答案】A
【分析】设直线l的方程为y=x+b，先根据直线和圆相切算出b，在根据导数的几何意义算a.
【详解】依题意得，设直线l的方程为y=x+b，
由直线和圆x2+y2=12相切可得，b12+(−1)2=22，解得b=±1，
当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切，
设切点为(m,n)，根据导数的几何意义，1m+a=1，
又切点同时在直线和曲线上，即n=m+1n=ln(m+a)，解得n=0m=−1a=2，
即y=x+1和y=ln(x+2)相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位，
y=x−1和y=lnx仍会保持相切状态，即b=−1时，a=0，
综上所述，a=2或a=0.
故选：A
3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数fx=4ex−2x−2x(x>0)，函数gx=−x2+3ax−a2−3a(a∈R)．若过点O0,0的直线l与曲线y=fx相切于点P，与曲线y=gx相切于点Q，当P、Q两点不重合时，线段PQ的长为 ．
【答案】652/625
【分析】设点Px0,4ex0−2x0−2x0 x0>0，利用导数的几何意义得到方程，求出x0，即可得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与g(x)也相切，利用判别式即可求出a，根据a确定点Q，即可求PQ.
【详解】因为f'x=4ex−2x−1x2−2，
设点Px0,4ex0−2x0−2x0 x0>0，则f'x0=4ex0−2x0−1x02−2
可知kOP=4ex0−2x0−2x0x0=4ex0−2x0−1x02−2，解得x0=2，
可得切点P2,−2，切线斜率k=f'2=−1，
所以l方程y+2=−x−2，即y=−x，
联立y=−xy=−x2+3ax−a2−3a⇒x2−1+3ax+a2+3a=0，
由Δ=(1+3a)2−4a2+3a=0⇒5a−1a−1=0，可得a=15或1；
当a=1时，xQ=2，此时Q2,−2，P,Q重合，舍去；
当a=15时，xQ=45，此时Q45,−45；
此时PQ=2−452+−2+452=652.
故答案为：652.
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex−1,gx=14ex2，若直线l是曲线y=fx与曲线y=gx的公切线，则l的方程为（ ）
A．ex−y=0B．ex−y−e=0
C．x−y=0D．x−y−1=0
【答案】B
【分析】设y=kx+m与y=fx相切于点Ax0,y0，与y=gx相切于点Bx1,y1，利用导数的几何意义，得到ex0−1x0+m=ex0−1和m=−e4x12，再由ex0−1=12ex1，求得x0−1=12x1，得到12x1−1−ln12x1=0，令ℎx=x−1−lnx，利用导数求得函数的单调性与最值，求得m=−e,k=e，即可求解.
【详解】设l:y=kx+m与曲线y=fx相切于点Ax0,y0，与y=gx相切于点Bx1,y1，
由f'x=ex−1，可得l的斜率k=ex0−1，所以ex0−1x0+m=ex0−1①，
又由g'x=12ex，可得k=12ex1，所以12ex1x1+m=e4x12，即m=−e4x12②，
又因为ex0−1=12ex1③，
将②③代入①中，可得12ex1x0−e4x12=e2x1，由③易知，x1>0,则x0−1=12x1④，
将④代入③，可得ex12=e2x1，则12x1−1−ln12x1=0，
令ℎx=x−1−lnx，则ℎ'x=x−1x，当00,ℎx单调递增．所以ℎx≥ℎ1=0，当且仅当x=1时取等号，
故12x1=1，可得x1=2，所以m=−e4×22=−e,k=e2×2=e，
所以l的方程为y=ex−1，即ex−y−e=0．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（22-23高三上·天津·期中）若fx=x2−2x−4lnx，则f'x>0的解集为（ ）
A．0,+∞B．−∞,−1∪2,+∞C．2,+∞D．−∞,−1
【答案】C
【分析】先求导，再解不等式即可.
【详解】由fx=x2−2x−4lnx得，f'x=2x−2−4x，x>0
令2x−2−4x>0且x>0，
解得x>2
即f'x>0的解集为2,+∞
故选：C.
2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2x2−8x+10,x>2e2−x+x−1, x≤2，若fx≥x−m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．18,5−2ln2B．(−∞,4−2ln2]
C．14,4−2ln2D．12,5−2ln2
【答案】A
【分析】由fx在−∞,2和2,+∞上的单调性，画出y=fx的图象，分别求得当fx=2x2−8x+10与y=x−m相切时，当y=e2−x+x−1和y=m−x相切时，切点的坐标，求得对应的m值，结合函数图象即可求得范围.
【详解】fx≥|x−m|恒成立可以转化为函数y=fx的图象不在y=x−m图象的下方，
∵当x≤2时，fx=e2−x+x−1，∴f'x=−e2−x+1≤0，
∴fx在−∞,2上单调递减，且f2=2，
又∵当x>2时，fx=2x2−8x+10=2x−22+2，
∴fx在2,+∞上单调递增，且f2=2，
画出函数图象如下图所示，gx=x−m=x−m,x≥mm−x,x2e，再利用基本不等式求解.
【详解】设切点为x0,y0，由y=lnx+a
所以y'=1x+a，且过切点的直线为y=ex+b，
所以有：1x0+a=elnx0+a=ex0+b⇒b=ae−2，
因为b>0，所以a>2e，
所以a+eb+2=a+eae−2+2=a+1a≥2a⋅1a=2，
当且仅当a=1a⇒a=1时取等号，
故答案为：[2,+∞).
1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．x−y−π−1=0B．2x−y−2π−1=0
C．2x+y−2π+1=0D．x+y−π+1=0
【答案】C
【分析】先判定点(π,−1)是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当x=π时，y=2sinπ+csπ=−1，即点(π,−1)在曲线y=2sinx+csx上．∵y'=2csx−sinx, ∴y'x=π=2csπ−sinπ=−2,则y=2sinx+csx在点(π,−1)处的切线方程为y−(−1)=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0．故选C．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
2.（2021·全国·高考真题）曲线y=2x−1x+2在点−1,−3处的切线方程为 ．
【答案】5x−y+2=0
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．
求导得：y'=2x+2−2x−1x+22=5x+22，所以y'|x=−1=5．
故切线方程为5x−y+2=0．
故答案为：5x−y+2=0．
3.（2019·天津·高考真题） 曲线y=csx−x2在点0,1处的切线方程为 .
【答案】x+2y−2=0
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】y'=−sinx−12，
当x=0时其值为−12，
故所求的切线方程为y−1=−12x，即x+2y−2=0．
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y0=f(x0)y1−y0x1−x0=f'(x0)得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
4.（2019·全国·高考真题）曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 ．
【答案】3x−y=0.
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】详解：y/=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,
所以，k=y/|x=0=3
所以，曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x，即3x−y=0．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
5.（2024·全国·高考真题）设函数fx=ex+2sinx1+x2，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.
【详解】f'x=ex+2csx1+x2−ex+2sinx⋅2x1+x22，
则f'0=e0+2cs01+0−e0+2sin0×01+02=3，
即该切线方程为y−1=3x，即y=3x+1，
令x=0，则y=1，令y=0，则x=−13，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=12×1×−13=16.
故选：A.
6.（2022·全国·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】 y=1ex y=−1ex
【分析】分x>0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0和x0时设切点为x0,lnx0，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
因为y=lnx是偶函数，图象为：
所以当x0时y=lnx，设切点为x0,lnx0，由y'=1x，所以y'|x=x0=1x0，所以切线方程为y−lnx0=1x0x−x0，
又切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0−x0，解得x0=e，所以切线方程为y−1=1ex−e，即y=1ex；
当x