第23讲 复数（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握复数的概念，能够理解复数的实部虚部与共轭复数的概念
2.能掌握复数的四则运算法则
3.具备数形结合的思想意识，会借助图形，理解复数与向量的关系
4.会解复数方程问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出复数进行相关计算，求解实数虚数问题。
知识讲解
知识点一．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
实数（b=0）虚数（b≠0)(当a=0时为纯虚数)。
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2 (a，b∈R)．
知识点二．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
知识点三．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：Z1Z2＝a+bic+di＝(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)＝ac+bdc2+d2＋bc−adc2+d2i (c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(—→))＋eq \(OZ2,\s\up6(—→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(—→))＝eq \(OZ2,\s\up6(—→))－eq \(OZ1,\s\up6(—→)).
知识点四.复数常用结论
1．(1±i)2＝±2i；1+i1−i＝i；1−i1+i＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆
考点一、复数的概念
1.（24-25高三上·海南·开学考试）复数z满足z2+i=3+4i，则复数z的虚部是（ ）
A．2iB．2C．−iD．-1
2.（2024·河南周口·模拟预测）已知复数z=1+1i3，i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．2iB．−2iC．2D．−2
1.（23-24高三下·广西·阶段练习）设z=3+i1+i2+i7，则z=（ ）
A．−1−3iB．−1+3iC．1−3iD．1+3i
2.（2024·全国·模拟预测）已知z=1+i1−i，则z+z3+z5=（ ）
A．iB．−iC．1+iD．1−i
3.（2025·广东深圳·模拟预测）已知i为虚数单位，复数z，满足z=5，z在复平面中的第一象限，且实部为3，则z为
考点二、复数的四则运算
1.（2024·天津·高考真题）已知i是虚数单位，复数5+i⋅5−2i= ．
2.（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为 ．
1.（2023·全国·高考真题）设z=2+i1+i2+i5，则z=（ ）
A．1−2iB．1+2iC．2−iD．2+i
2.（2023·全国·高考真题）已知z=1−i2+2i，则z−z=（ ）
A．−iB．iC．0D．1
3.（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足z1−i=3+5i，则复数z=（ ）
A．4+4iB．4−4i
C．−1+4iD．−1−4i
考点三、复数相等
1.（2022·全国·高考真题）已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2
2.（2016·天津·高考真题）已知a,b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1−bi）=a，则ab的值为 .
1.（2024·新疆乌鲁木齐·三模）若(1−2i)(2+i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（ ）
A．4，−5B．4，−3C．0，−3D．0，−5
2.（24-25高三下·全国·单元测试）设a∈R,(a+i)(1−ai)=2，则a=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
3.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若集合A=m2m=1,m∈C，B=a+biab=0，则A∩B的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4.（2024·辽宁·模拟预测）已知x+yi1+i=2−i，x,y∈R，则x+y=（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点四、复数类型
1.（2020·浙江·高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1B．–1C．2D．–2
2.（2024·江西新余·模拟预测）已知复数z满足：z=1，1+z+z2+z3为纯虚数，则这样的复数z共有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
1.（2024·北京大兴·三模）已知m−i2为纯虚数，则实数m=（ ）
A．0B．1C．−1D．±1
2.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知复数z1=2−i,z2=a+ia∈R，若复数z1⋅z2为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．−12B．12C．-2D．2
3.（2024·北京·三模）若复数z=a−1+5a+1i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则a+i51−ai=（ ）
A．iB．−iC．1D．−1
4.（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知复数z满足z+2i=z，且z−1是纯虚数，则zz=（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点五、复数的几何意义
1.（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3i
C．−1+3iD．−1−3i
2.（2023·全国·高考真题）在复平面内，1+3i3−i对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
1.（2024·云南·模拟预测）在复平面内，1−i2+i对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2.（23-24高三上·天津·期中）复数z在复平面内对应的点为2,−1，则3i+1z−1的共轭复数的模为
3.（23-24高三上·天津河北·开学考试）复数i2+i在复平面内对应的点的坐标是 .
4.（2024·青海西宁·二模）已知复数z=i2024−i，则z对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5.（23-24高三上·天津红桥·阶段练习）已知i为虚数单位，则1-i2+i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
考点六、复数模长问题
1.（2023·全国·高考真题）2+i2+2i3=（ ）
A．1B．2C．5D．5
2.（2022·北京·高考真题）若复数z满足i⋅z=3−4i，则z=（ ）
A．1B．5C．7D．25
1.（2020·全国·高考真题）若z=1+i，则|z2−2z |=（ ）
A．0B．1C．2D．2
2.（2020·全国·高考真题）设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=3+i，则|z1−z2|= .
3.（2024·河南郑州·模拟预测）若z=2−i−x+i2+i(x∈R)且|z|=1，则x取值的集合为（ ）
A．{2}B．{3}C．{3,7}D．{1,3}
4.（2024·贵州·模拟预测）2i−1=（ ）
A．2B．5C．2D．5
考点七、复数方程问题
1.（2024·江西·模拟预测）已知1+i是实系数方程x2+ax+b=0的一个根．则a+b=（ ）
A．4B．−4C．0D．2
2.（2024·四川宜宾·三模）已知复数z满足z2+z+1=0且z是z的共轭复数，则z+z=（ ）
A．−1B．1C．3D．−3
1.（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知复数z满足z3=1+3i，则z=（ ）
A．1+33iB．2csπ12+isinπ12
C．1+63iD．32csπ9+isinπ9
2.（2024·山西阳泉·三模）已知2+i是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，则p+q=（ ）
A．−9B．−1C．1D．9
3.（2024·重庆九龙坡·三模）设z1,z2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，其中p,q∈R，若z1=−1+2i（i为虚数单位），则1z1+1z2=（ ）
A．−23B．23C．−2D．2
4.（2024·天津河西·模拟预测）已知2i−3是关于x的方程2x2+px+q=0p,q∈R的一个根，则p+q= ．
考点八、复数最值与取值范围
1.（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知i为虚数单位，复数z=a+bi，a，b∈R且满足z−i=2，求点Za,b到直线y=x+3距离的最大值为（ ）
A．0B．22−2C．2D．22
2.（2024·山东烟台·三模）若复数z满足z=z−2−2i，则z的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
1.（2024·云南·二模）已知i为虚数单位，复数z满足z−1=z+i，则z−i的最小值为（ ）
A．22B．12C．13D．0
2.（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数z1，z2满足|z1−3i|=2，|z2−4|=1，则|z1−z2|的最大值是（ ）
A．6−2B．6+2C．7D．8
3.（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设z∈C，且z+5z+5=4，则z2的实部的取值范围为（ ）
A．8,36B．9,49
C．10,64D．11,81
4.（23-24高三下·江西·开学考试）已知复数z=a+bia,b∈R.且2−i−z=1，则b+aa+1的取值范围为（ ）
A．−3−34,−3+34B．−∞,−3−34∪−3+34,+∞
C．1−34,1+34D．−∞,1−34∪1+34,+∞
考点九、复数轨迹问题
1.（2024·江苏南京·三模）已知复数z满足z−z2=z+z，则复数z在复平面内对应点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2.（2024·广东揭阳·二模）已知复数z在复平面内对应的点为a,b，且z+i=4，则（ ）
A．a2+b+12=4B．a2+b+12=16
C．a+12+b2=4D．a+12+b2=16
1.（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数z=x+yix,y∈R且z−5+i=2，则满足2x−y−1=10的复数z的个数为（ ）
A．0B．2C．1D．4
2.（2024·宁夏·二模）已知复数z满足z−4+5i=1，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.（2024·湖南长沙·三模）已知复数z满足z=1，则z−2i的取值范围为（ ）
A．0,2B．1,3C．2,4D．1,9
4.（2022·天津·二模）如果复数z满足z+1−i=2，那么z−2+i的最大值是 ．
1．（2024·天津和平·二模）已知i为虚数单位，复数z=1−i2+2i，则z的共轭复数z=（ ）
A．12−12i B．12+12i C．12i D．−12i
2．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知a+ib−2i=ia,b∈R，其中i是虚数单位，则a+b= ．
3．（2024·天津蓟州·模拟预测）记i是虚数单位，复数z满足z=3+4i4−3i，则z=
4．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知i是虚数单位，则9+2i2+i＝ ．
5．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）若3−iz=3i，则z的共轭复数为 .
6．（2023·天津河北·一模）i是虚数单位，复数z满足iz+1=2，则z= .
1．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数z=4−3i3+4i，则z的虚部为
2．（2023高三·全国·专题练习）已知zn=1+i1+i2⋅⋅⋅1+in（n∈N*），则z2023−z2024的值为 ．
3．（2023·天津和平·二模）i是虚数单位，若复数z=1+bi1+i(b∈R)为纯虚数，则b= ．
4．（2023·天津和平·二模）复数z满足1+iz=3−i，则z= ．
5．（22-23高三上·天津河东·期中）i是虚数单位，复数3+4i1−2i的虚部是 .
6．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）已知复数z满足z3+i=3+i2020，其中i为虚数单位，则z的虚部为 .
1.（2024·北京·高考真题）已知zi=−1−i，则z=（ ）．
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
2.2024·全国·高考真题）设z=2i，则z⋅z=（ ）
A．−2B．2C．−2D．2
3.（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则iz+z=（ ）
A．10iB．2iC．10D．2
4.（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则z=（ ）
A．0B．1C．2D．2
5.（2024·全国·高考真题）若zz−1=1+i，则z=（ ）
A．−1−iB．−1+iC．1−iD．1+i
6.（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3i
C．−1+3iD．−1−3i
7.（2023·全国·高考真题）51+i32+i2−i=（ ）
A．−1B．1C．1−iD．1+i
8.（2023·全国·高考真题）设a∈R,a+i1−ai=2,，则a=（ ）
A．-1B．0 C．1D．2
9.（2021·全国·高考真题）设2z+z+3z−z=4+6i，则z=（ ）
A．1−2iB．1+2iC．1+iD．1−i
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第10题,5分
复数代数形式的乘法运算
2023年天津卷，第10题,5分
复数代数形式的乘法运算 复数的除法运算
2022年天津卷，第10题,5分
复数的除法运算
2021年天津卷，第10题,5分
复数的除法运算
2020年天津卷，第10题,5分
求复数的实部与虚部