第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。
2.能掌握函数的性质
3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题
4.会解周期性与对称性的运算.
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。
知识讲解
知识点一.函数的单调性
1.单调函数的定义
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
3.函数单调性的等价结论
函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x10;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1−x2f(x1)−f(x2)>0.
函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x10;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x21,则不等式fx+20，函数fx的定义域为R，则“对任意的x∈R，都有fx-a=-fx”是“2a是函数fx的一个周期”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）关于函数的周期有如下三个命题：
甲：已知函数y=f(x)和y=g(x)定义域均为R，最小正周期分别为T1、T2，如果T1T2∈Q，则函数y=f(x)+g(x)一定是周期函数；
乙：y=f(x)不是周期函数，y=|f(x)|一定不是周期函数；
丙：函数y=f(x)在R上是周期函数，则函数y=f(x)在[0,+∞)上也是周期函数.
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为 ．
4.（22-23高三·全国·对口高考）若存在常数p>0，使得函数fx满足fpx=fpx−p2，则fpx的一个正周期为 ．
考点十一、奇偶性与周期性求值
1.（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数fx满足f1−x=fx+1，且y=fx+2为奇函数．当x∈2,3时，fx=x−23−3x−2，则f2023=（ ）
A．−5B．−2C．−1D．1
2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知y=fx+1+1为奇函数，则f−1+f0+f1+f2+f3=（ ）
A．6B．5C．−6D．−5
1.（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(3x)=4f(x)且f(1−x)+f(x)=2，则f23=（ ）
A．32B．12C．23D．13
2.（2024·贵州黔西·一模）已知f(x+4)=f(−x)，f(x+1)为奇函数，且f(2)=2，则f(2023)+f(2024)=（ ）
A．4047B．2C．−2D．3
3.（2020·重庆沙坪坝·模拟预测）定义在R上的奇函数fx满足fx+1=f1−x，且x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则flg28=（ ）
A．−1B．1C．7D．−12
4.（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x都有fx+3=fx+2fx+1，fx=f2−x成立，若f2=1，则k=1nf(k)= ．
5.（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=lg2x−a+1，当x∈xx≠−2时，f6+x=f2−x，则f2= .
考点十二、奇偶性与周期性求参数
1.2024·全国·模拟预测）若函数fx=4x−42x(x−a)2的图象关于点1,0对称，则a=（ ）
A．0B．−1C．1D．2
2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1ex+a的图象关于点1,f1对称，则a=（ ）
A．1B．2C．eD．e2
1.（2023·江西南昌·三模）若实数m,n满足m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=−30，则m+n=（ ）
A．-4B．-3C．-2D．-1
2.（2023·山西临汾·模拟预测）若9a+a−2⋅3a−1=0，9b+b+1⋅3b+1−9=0，则a+b=（ ）
A．13B．12C．1D．2
3.（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数fx=x2+2xx2+ax+b满足：对∀x∈R，都有f1+x=f1−x，则a+b为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.（2024高三下·全国·专题练习）已知函数gx=x3−9x2+29x−30，gm=−12，gn=18，则m+n= ．
5.（23-24高三上·广东东莞·期末）若函数fx=x2−2xx2+ax+b的图象关于x=−2对称，则a+b= ，fx的最小值为 ．
6.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x+alg2x−24−x关于直线x=b对称，则2a+2b= ．
考点十三、奇偶性与周期性解不等式
1.（2022·四川凉山·二模）定义在R上的奇函数fx，满足fx+2=−fx，当0≤x≤1时fx=x，则fx≥12的解集为（ ）
A．12,+∞B．12,32
C．4k+12,4k+32k∈ZD．2k+12,2k+32k∈Z
2.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数f(x−1)是偶函数，f(x)在区间[−1,+∞)内单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x)⋅ln|x+1|>0的解集为（ ）
A．(−3,−1)∪(1,+∞)B．(−3,−2)∪(0,1)
C．(−∞,−2)∪(−1,1)D．(−1,0)∪(1,+∞)
1.（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数fx=x3−2ex+1，则不等式fx+f2x−1>−2的解集为（ ）
A．13,+∞B．1,+∞C．−∞,13D．−∞,1
2.（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−∞,0，x1≠x2，满足fx2−fx1x2−x10的解集为（ ）
A．1,+∞B．2,+∞
C．−2,0∪0,2D．−1,0∪2,+∞
4.（2022·上海·模拟预测）设fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足fπ=1，f2π=0，则不等式组0≤x≤10≤fx≤1的解集为 .
5.（2022·江西景德镇·三模）周期为4的函数fx满足fx=f4−x，且当x∈0,2时fx=x3−1，则不等式fx≤0在−2,2上的解集为 ；
6.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)在R上单调递增，若f(4−x)+f(x)=2，且f(3)=2，则0≤f(x−1)≤2的解集为 .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=x3−x+lnx+a+x2x∈R为奇函数，则a=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
2．（2024·山东泰安·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=−x5−3x+a−1，则f−a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数f2x+1为偶函数，若函数gx=fx+21−x+2x−1−5的零点个数为奇数个，则f1=（ ）
A．1B．2C．3D．0
4．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=3x与y=−13x的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于y=x对称
5．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且满足fx+4=fx，当x∈−2,0时，fx=−3x−2x，则f1+f4= .
6．（2024·四川内江·三模）若函数f(x)=x2+ax,x≥0bx2−2x,x32的解集为（ ）
A．−∞,−π3∪π3,+∞B．−π3,π3
C．−∞,−π2∪π2,+∞D．−π2,π2
2．（2024·山东青岛·三模）定义 x 表示不超过 x的最大整数.例如: 1.2=1，−1,2=−2，则（ ）
A．x+y=x+yB．∀n∈Z，x+n=x+n
C．fx=x−x 是偶函数D．fx=x−x 是增函数
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+y=fx+fy成立，且f0=1，则（ ）
A．fx+1为奇函数B．fx+1为奇函数
C．fx+1为偶函数D．f(x)−1为偶函数
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为R，fxfy−fx=xy−y，则（ ）
A．f0=0B．f−1=1
C．fx+1为偶函数D．fx+1为奇函数
5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在R上的函数gx满足gx=fx+2x，gx+2为偶函数，函数f3x+1的图象关于0,2对称，则f27=（ ）
A．−46B．4C．−50D．−4
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知fx是定义域为R的偶函数，f5.5=4，gx=x−1fx，若gx+1是偶函数，则g−0.5= .
7．（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=e2x−1−e1−2x+sinπ2x−π4+1，则不等式f2x+1+f2−x≥2的解集为 .
1.（2024·上海·高考真题）已知fx=x3+a，x∈R，且fx是奇函数，则a= ．
2.（2023·全国·高考真题）若fx=(x−1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a= ．
3.（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x=π对称D．f(x)的图象关于直线x=π2对称
4.（2022·全国·高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fk=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
5．（2024·全国·高考真题）设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=csx+2ax，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1B．12C．1D．2
6．（2024·全国·高考真题）设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为（ ）
A．18B．14C．12D．1
7．（2022·天津·高考真题）函数fx=x2−1x的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第4题,5分
函数奇偶性的定义与判断 求含csx的函数的奇偶性
2023年天津卷，第4题,5分
函数奇偶性的定义与判断 判断指数型函数的图象形状 识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式
2022年天津卷，第3题,5分
函数奇偶性的应用函数图像的识别 根据解析式直接判断函数的单调性
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称
f(x)
g(x)
fx+g(x)
fx−g(x)
fx−g(x)
f[gx]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数