第04讲 函数的概念及其表示（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上
【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数
2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等.
知识讲解
知识点一.函数的概念
1.定义
2.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
知识点二.分段函数的定义
定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数．
分段函数的定义域是各段x取值集合的并集．
考点一、函数关系的判断
1.（2024高三·全国·专题练习）若函数y=fx的定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=y1≤y≤2，则函数y=fx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义判断即可得.
【详解】由函数定义可排除C，由值域为B=y1≤y≤2可排除A、B，
只有D选项为定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=y1≤y≤2的函数的图象.
故选：D.
2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.
【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误；
对于A：由等边三角形可知：线段AP的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；
对于D：由圆可知：线段AP的长度不会是线性变化，故D错误；
对于C：由正方形可知：线段AP的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确；
故选：B.
1.（22-23高三·全国·对口高考）已知函数f(x),x∈F，那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数有 .
【答案】0或1.
【分析】根据题意转化为x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，结合函数的定义，即可求解.
【详解】由集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数，
即为直线x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，
当1∈F时，此时，两个函数的图象有且仅有一个交点；
当1∉F时，此时，两个函数的图象没有公共点，
所以集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数为0个或1个.
故答案为：0或1.
2.（湖南·高考真题）给定k∈N∗，设函数f:N∗→N∗满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n−k.
(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为 ；
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 ．
【答案】 正整数 16
【分析】(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个正整数；
(2)k=4，且n⩽4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，求出所有可能的组合数即可得不同函数的个数．
【详解】(1)∵函数f:N∗→N∗，∴其值域为正整数，故函数f在n=1处的函数值为正整数；
(2)∵函数f:N∗→N∗，∴其值域为正整数，
又n≤4时，2≤f(n)≤3，
故n≤4时，f(n)∈{2，3}，
即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3，
则共2×2×2×2＝24=16种组合，
∴不同的函数f的个数为16.
故答案为：正整数；16．
3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线C与函数f(x)=324x3(01,则ff12= ；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是 ．
【答案】 3728 3+3/3+3
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【详解】由已知f(12)=−122+2=74，f(74)=74+47−1=3728，
所以 ff(12)=3728，
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3，所以−1≤x≤1，
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤3，所以12x−3+a,x≤2,若ff6=3，则a= .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【详解】ff6=f6−4=f2=2−3+a=3，故a=2，
故答案为：2.
3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数fx=12x+1,x≤0f(x−3),x>0，则f2020= .
【答案】45/0.8
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为fx=12x+1,x≤0f(x−3),x>0，
所以f2020=f673×3+1=f1=f1−3=f−2=12−2+1=45.
故答案为：45
4.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=2x,x0，则f2+f−1= ．
【答案】0
【分析】根据分段函数解析式进行求值.
【详解】依题意，fx=2x−1,x≤0lg2x,x>0，
所以f2+f−1=lg22+2−1−1
=lg2212+12−1=12+12−1=0.
故答案为：0
6.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数fx=lg31−x,x0时，f(x)=x3+3x2−3=(x−1)(x+2)2+1，由fx≥1，得(x−1)(x+2)2≥0，因此x≥1，
所以不等式f(x)≥1的解集为−∞,0∪1,+∞.
故选：D
2.（2024·北京东城·二模）设函数fx=1,x3的解集为1,+∞，
故答案为：1,+∞.
7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数fx=21−x−2,x≤11−lg2x−1,x>1则满足fx≤2的x的取值范围是 .
【答案】[−1,1]∪[32,+∞)
【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.
【详解】当x≤1时，fx≤2即21−x−2≤2,∴1−x≤2,∴x≥−1，则−1≤x≤1；
当x>1时，fx≤2即1−lg2x−1≤2，解得x≥32，即x≥32，
故满足fx≤2的x的取值范围是[−1,1]∪[32,+∞)，
故答案为：[−1,1]∪[32,+∞)
考点七、分段函数的值域与最值
1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函数fx=sin12x+π6,x≤2π3lg1ex,2π3