数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教学ppt课件

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学习目标活动方案 检测反馈
1.综合运用直线和圆的位置关系解决复杂的问题2.体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中 的应用.
目 标x U E X I
M U B I A O
例1 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，求点N 的轨迹.
活 动 一 求 圆 的 方 程
【解析】(1)设点M(x,y),则由题意，化简，得x²+y²=16, 即动点M 的轨迹方程为x²+y²=16.(2)设点N 的坐标为(x₁,y₁).因为点A(2,0),且 N 为线段AM 的中点，所以点M 的坐标为(2x₁—2,2y₁), 所以(2x₁—2)²+(2y₁)²=16, 即(x₁一
1)²+yỉ=4,所以点N 的轨迹是以点(1,0)为圆心，2为半径的圆.内容索引
例 2 已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4, 圆 C:(x—1)²+(y 一2)²=25,证明：当m ∈R时，直线l 与圆C必相交，并求相交弦长的最小值 及对应的m的值.
活 动 二 直 线 与 圆 位 置 关 系 的 综 合 应 用
即相交弦长的最小值为4 √ 5,对应的m 的值为
例3 如图，已知圆O 的方程为x²+y²=2,M 是直线x=—2 上的任意一点，过点M作圆O的两条切线，切点分别是P,Q, 线段PQ的中点为N.(1)当点M运动到x轴上时，求出点P,Q 的坐标；(2)当点M在x轴上方运动且∠PMQ=60° 时，求直线PQ的方程；(3)求证：OM.ON=OP², 并求点N 的轨迹方程.
【解析】 (1)当点M 运动到x 轴上时，OP=√2,OM=2,由OP⊥MP, 得MP=√2=OP,所以直线PQ 垂直平分线段OM, 所以点P,Q 的横坐标为一1.因为点P,Q 在圆 x²+y²=2 上，所以点P 的坐标为(一1,1),点Q 的 坐标为(一1, —1).
(2)连接OM,OP,0Q, 则 点N 在 OM上 .设点M 的坐标为(一2,m)(m>0).因为∠PMQ=60°, 所以∠OMP=30°, 则OM=20P=2√2,所以 √2²+m²=2 √2, 解得m=2,所以点M 的坐标为(一2,2),所以直线OM的斜率为一1.因为 OP=0Q,MP=MQ, 所以PQ⊥OM, 所以直线PQ 的斜率为1.设直线PQ 的方程为y=x+b, 又∠OMP=30°,
所以∠POM=60°, 7即点O(0,0)到直线PQ 的距离 所 解得b=1 或 b =—1 (舍去),
所以直线PQ 的方程为x—y+1=0.
又 OP⊥MP, 所以△PNO0△MPO,所 即OM·ON=OP²,所以 √4+n². √x²+y²=2. ①由OM//ON,得nx=—2y,即 ②将②代入①,得x²+y²=|x|.因为x<0,所以点N 的轨迹方程为x²+y²+x=0(x<0).内 容 索 引
(3)设点N 的坐标为(x,y)(x<0),点M 的坐标为(一2,n).连接OM,OP,0Q, 则点N在 OM上.由(2)知PQ⊥OM.
活 动 三 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 实 际 应 用 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心， 半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，港口 位于小岛中心正北30 km 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁 危险?
【解析】以小岛的中心为原点O, 东西方向为x轴，建立如图所示 的直角坐标系.为了运算的简便，我们取10 km 为单位长度，则港口所在 位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x²+y²=4.
联立直线1与圆O 的方程，得消去y, 得25x²—72x+80=0.由△=(一72)²-4×25×80<0,可知方程组无解，
轮船航线所在直线l的方程 即3x+4y—12=0.
所以直线1与圆O 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
【解析】圆的一般方程化为标准方程为(x+1)²+(y+2)² =8, 则圆心坐标为(一1,一2),圆的半径为2 √2,圆心到直线l 的距离√2,所以和直线l平行的圆的直径的两个端点及直线l上方且与直线l平 行的圆的切线的切点到直线l 的距离都为 √2,即圆上有3个点满足题意.
【答案】C1 2 3 4 5 内 容 索 引
的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4
1.圆x²+y²+2x+4y—3=0 上到直线l:x+y+1=0 的距离为 √2的点
O₂:(x—4)²+y²=4, 动 点P 在直线x+√3y-b=0 上，过点P 分别作圆O₁,O₂ 的切线，切点分别为A,B, 若 存 在 点P 满 足PB=2PA, 则实数b 的取值范围是( )
2. (2022 ·益阳联考)在平面直角坐标系Oxy中，已知圆O₁:x²+y²=1,
则 √(x-4)²+y²-4=2 √x²+y²-1,所以(x-4)²+y²=4(x²+y²),所以x²+, 即 圆心坐标 半径为 因为动点P 在直线x+ √3y—b=0 上，且满足 PB=2PA, 所以直线与圆
有交点，所以圆心到直线的距离≤b≤4, 即 实 数b 的取值范围【答案】C3
【解析】由题意，得O₁ (0,0),O₂ (4,0).设点P(x,y).若 PB=2PA,
3. (多选)(2022 ·无锡一中期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B 的距离之比为定 值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名， 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 Oxy 中，A(2,2), B(一4,2),点P 满 设点P 所构成的曲线为C, 则下列结论中正 确的是( )
A. 曲 线C 的方程为x²+y²—8x—4y+4=0B. 在曲线C 上存在点M 到点(一3,—2)的距离为4C. 曲 线C 上的点到直线3x—4y+6=0 的最大距离为6D. 过 点B 作直线l, 若曲线C 上恰有三个点到直线l 的距离为2,则该直线的斜率
简，得x²+y²—8x—4y+4=0, 故 A 正确；将圆C 的方程化为标准方程为(x—4)²+(y—2)²=16, 则圆心为(4,2),半径为4,则圆上的点到点(一3, -2)的最小距离为 √ (-3-4)²+(-2-2)²-4=√65-4> 4,则在圆C 上不 存在点M 到点(一3,一2)的距离为4,故B 错误；曲线C 上的点到直线 3x—4y+6=0 的最大距离为圆心到直线3x—4y+6=0 的距离加半径，即故C 正确；显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程
【解析】设点P 的坐标为(x,y), 则
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为y—2=k(x+4), 即 kx—y+4k+2=0, 因 为 圆C 的半径为4,所以要使C 上恰有三个点到直线l 的距离为2,只需圆心到该直线的距离为2,即解得 故D 正确 . 故选ACD.
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4.(2022·无锡一中期中)已知P(x₁,y₁)是圆C:x²+y²=1 上的动点，Q(x₂,y₂)是直线 l:x+2y-2√5=0 上的动点，记Lpg=|x₁—x₂I+ly₁—y₂], 则Lp的最小值是
其中 等号，所以Lpg的最小值
设 P(csθ,sinθ),则可得N 为(2 √ 5-2sinθ,sinθ).又 直 线l:x+2y-2 √5
【解析】如图，过点P 作 x 轴的平行线交直线l于 点N, 根据题意
= 0 的 斜 率 为
(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在0岛的南偏西30°方向距 O 岛40 km 处，正沿着北偏 东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触 礁的危险?
5. 如图，某海面上有 O,A,B 三个小岛(面积大小忽略不计),A 岛在 O 岛的北偏东45°方向距O 岛40 √2 km 处 ，B 岛 在O 岛的正东方向距 0岛20 km 处 . 以O 为坐标原点， O 的正东方向为x 轴的正方向，1 km
为1个单位长度，建立平面直角坐标系. 圆C 经 过O,A,B 三点 .
(2)设该船初始位置为点D, 则 D(-20,-203),且该船航线所在直线l 的斜率为1,故该船航行方向为直线l:x—y+20-203=0.由(1),得圆心为C(10,30), 半 径r=10√ 10.由于圆心C 到直线l 的距离故该船有触礁的危险.