高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教学课件ppt

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学习目标活动方案 检测反馈
学 习 目 标 XUE XI MU BIAC 1.解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问2.理解直线与圆相交的弦长问题.3.体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用.
【解析】当切线方程的斜率不存在时，x=x.当切线方程的斜率存在时，由x²+y²=r, 可知圆心为原点(0,0),所以直线OM 的斜率 因 为所求切线与直线OM 垂直，所以切线的斜率为 所以切线方程为y 即xx+yy=r.综上，所求切线方程为xx+yy=r 或x=X.
例1 已知圆x²+y²=r²,求经过圆上一点M(x₀,y₀)的切线方程.
活动一 直线与圆相切的综合问题
探究：已知圆O:x²+y²=r²(r>0), 当点M(x₀,y₀)(异于原点)在圆上、圆外
时，研究直线l:x₀x+y₀y=r²与圆O的位置关系.
结论：(1)过圆x²+y²=r²上一点M(x₀,y₀)的切线方程为x₀x+y₀y=r².(2)过圆x²+y²=r²外一点M(x₀ ,y)作圆的两条切线MA,MB, 切点分 别为A,B, 则切点弦AB的方程为x₀x+y₀y=r².
【解析】(1)由题意，得圆心C 的坐标为(2,0),半径为√2. 若切线过原点，则设切线方程为kx—y=0,则 解得k=±1,所以切线方程为x+y=0 或x—y=0;
例2 已知圆C:(x—2)²+y²=2.(1)求与圆C 相切，且在x轴、y 轴上截距相等的直线方程；(2)从圆外一点P 作圆C 的一条切线，切点为M,O 为坐标原点，且
PM=PO, 求使PM 最小的点P的坐标.
若切线不过原点，则设切线方程为x+y+c=0,则 解得c=—4 或 c=0,所以切线方程为x+y-4=0 或x+y=0.综上所述，所求切线的方程为x+y=0 或x—y=0 或x+y-4=0.
(2)设点P 的坐标为(x,y).因为PM=PO,PM²+r²=PC²,所以(x—2)²+y²-2=x²+y²,即所以点P 的轨迹为直线要使PM 最小，即使PO 最小，
过 点O 作直线 的垂线，垂足为故 点P 的坐标
消去y, 并整理得x²—3x+2=0, 解 得x₁=2,x₂=1,所以直线1与圆C 相交，有两个公共点.将x₁=2,x₂=1 分别代入方程①,得y₁=0,y₂=3, 所以直线1与圆C 的两个交点是A(2,0),B(1,3), 所以AB= √ (1-2)²+(3-0)²= √ 10.
例3 已知直线l:3x+y-6=0 和圆心为C的圆x²+y²-2y-4=0, 判断直线l与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l被圆C 所截得的弦长.【解析】方法一：联立直线l 与圆C 的方程，得
活 动 二 直 线 与 圆 相 交 的 综 合 问 题
方法二：圆 C 的方程x²+y²-2y-4=0 可化为x²+(y—1)²=5,因此圆心C 的坐标为(0,1),半径为5,圆心 C(0,1)到直线l的距离d
所以直线l与圆C 相交，有两个公共点.如图，由垂径定理，得AB=2\r-d²=√ 10.
y4BrC dO A x
跟踪训练已知过点M(—3,—3)的直线l 被圆x²+y²+4y—21=0 所截得的弦长 为45,求直线l 的方程.
【解析】易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y+3=k(x+3), 即kx—y+3k—3=0.圆x²+y²+4y-21=0 化为标准方程为x²+(y+2)²=25, 所以圆心为(0,一2),半径为5,所以圆心到直线l的距离因为直线l 被圆x²+y²+4y-21=0 所截得的弦长为45,所 解得k=2 或 所以直线l的方程为2x—y+3=0 或x+2y+9=0.
直线和圆相交的几何性质： d【解析】联立 消去x 并整理，得13y²+18y—7=0,
同理可得13x²—14x—26=0,所 以AB 的中点坐标 ,
例4 已知直线2x+3y+1=0 和圆x²+y²—2x—3=0 相交于 两
又因为直线AB:2x+3y+1=0 的斜率为
点，求弦AB的垂直平分线的方程.
所以弦AB的垂直平分线的斜率为 力所以弦AB的垂直平分线的方程为 即 3x—2y-3=0.故弦AB的垂直平分线的方程为3x—2y-3=0.
【解析】由圆的方程可知，圆心 C 为(0,3),由圆的性质可知AB⊥ CP.因为kcp= —2,所以 ,故AB 所在的直线方程为 即x—2y+1=0.
则弦AB所在直线的方程为( )A.2x—y—1=0 B.x—2y+1=0C.x+2y-3=0 D.2x+y-3=0
1.(2022 ·无锡一中期中)若点P(1,1)为圆x²+y²—6y=0 的弦AB 的中点，
【解析】由题意，得圆心(一1,1),r=√ 2—a.圆心到直线的距离d=√r²-2²= √ (2-a)-4= √-2-a, 且 ,所以 √ -2-a=√2,所以a=—4.
4,则实数a的值为( )A. 一 2 B.—4C.—6 D.—8
2. 已知圆(x+1)²+(y—1)²=2—a 截直线x+y+2=0 所得弦的长度为
3. (多选)(2022 ·福州三校期中联考)已知直线l与圆C:x²+y²+2x —4y+a=0 相交于A,B 两点，弦AB的中点为M(0,1), 则下列结论中正确的是 ( )A.实数a的取值范围是(一一，3)B.实数a的取值范围是(一0,5)C. 直线l的方程为x+y—1=0D. 直线l的方程为x—y+1=0
a<5. 又弦AB的中点为M(0,1), 所以点M 在圆内，将点M 的坐标代入圆的方程，得—3+a<0, 即 a<3, 故 A 正 确 ，B 错误；根据圆的性质可得MC⊥l, 由 圆C:x²+y²+2x—4y+a=0, 得圆心C 为(一1,2),所以直线l的斜率 由点斜式可得直线l 的方程为y=x+1, 即 x—y+1 = 0 , 故C 错 误 ，D 正确.故选AD.【答案】AD
【解析】圆C:x²+y²+2x-4y+a=0 需满足2²+(一4)²-4a>0, 则
4.(2022·山东省实验中学阶段性检测)在平面直角坐标系Oxy 中，直线mx-y+2=0 与曲线y= √-x(x+2)有两个不同的公共点，则实数m 的 取值范围是
为1的圆的上半部分(含端点),则直线 mx—y+2=0 与曲线y=√-x(x+2)有两个不同的公共点时，且直线mx—y+2=0 过定点(0,2),可考虑临界状 态，即直线与半圆相切或直线经过点(一2,0).当直线过点(一2,0)时，一
实数m 的取值范围 -2-1 0 【答案】
2m—0+2=0, 即m=1, 当直线mx—y+2=01,解得 数形结合可知
【解析】由题意可知，曲线y=√-x(x+2) 表示圆心为(-1,0),半径
5. 已知圆C:x²+(y—1)²=5, 直 线l:mx—y+1—m=0.(1)求证：对任意m ∈R, 直线1与圆C 总有两个不同的交点；(2)设直线l与圆C 交于A,B 两点，若AB= √ 17,求直线l的倾斜 角.
【解析】(1)由题意，得直线l恒过定点P(1,1).因为1²+(1—1)²<5,所以点P在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),联立方程组消去y 并整理，得(m²+1)x²—2m²x+m²—5=0.则 9因为AB=√ 1+m²|x₁—x₂I=√ 1+m².√(x₁+x₂)²-4x₁x₂, 所以 √ 17= √ 1+m².解得m=√3或m= 一 3,所以直线l的倾斜角为60°或120°.