高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲两条直线的位置关系(专题测试)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲两条直线的位置关系(专题测试)特训（学生版+解析），共12页。
1．（2019秋•南充期末）已知点A（1，0，2）与点B （1，﹣3，1），则|AB|＝（ ）
A．2B．6C．3D．10
2．（2019秋•内江期末）已知点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则实数m等于（ ）
A．34B．43C．−43D．−34
3．（2020•宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（ ）
A．2B．823C．3D．833
4．（2019秋•雅安期末）过直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A．2x﹣y＝0B．2x+y＝0C．x﹣2y＝0D．x+2y＝0
5．（2020•中山区校级一模）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（ ）
A．13B．3C．33D．3
6．（2019秋•芜湖期末）若点A（0，t）与曲线y＝lnx上点B距离最小值为23，则实数t为（ ）
A．ln2+3B．ln3+2C．12ln3+3D．12ln2+2
7．（2019秋•黄浦区期末）已知a∈R，若不论a为何值时，直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．(−27，17)D．(17，−27)
8．（2019秋•濮阳期末）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（ ）
A．−43≤a≤12B．a≥1或a≤﹣1C．﹣1≤a≤1D．a≥43或a≤12
9．（2019秋•城关区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．513B．34C．55D．226
10．（2019秋•西湖区校级期末）已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．0＜a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜2
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2020•通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为 ．
12．（2019秋•浏阳市期末）两条平行直线l：3x+4y＝4与m：3x+4y﹣9＝0之间的距离d＝ ．
13．（2020春•鼓楼区校级期中）已知直线l1：4x+2y﹣7＝0和l2：2x+y﹣1＝0，直线m分别与l1，l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为 ．
14．（2020•佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是 ；设点A（−54，0），则|PO|+|PA|的最小值为 ．
三．解答题（共3小题）
15．（2019秋•渭滨区期末）已知直线l：x﹣2y+6＝0在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n．
（1）求实数m，n的值；
（2）求点（m，n）到直线l的距离．
16．（2019秋•包河区校级期末）已知直线l方程为x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
17．（2020春•江宁区校级月考）设直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；
（3）当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程．
必修2 第4讲 两条直线的位置关系（专题测试）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•南充期末）已知点A（1，0，2）与点B （1，﹣3，1），则|AB|＝（ ）
A．2B．6C．3D．10
【解析】解：根据题意，点A（1，0，2）与点B （1，﹣3，1），
则|AB|=(1−1)2+(0+3)2+(2−1)2=10；
故选：D．
【点睛】本题考查空间两点间距离的计算，注意两点间距离公式的应用，属于基础题．
2．（2019秋•内江期末）已知点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，则实数m等于（ ）
A．34B．43C．−43D．−34
【解析】解：根据题意，点M（1，3）到直线l：mx+y﹣1＝0的距离等于1，
则有d=|m+3−1|m2+1=1，解可得m=−34；
故选：D．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式，关键是掌握公式的形式，属于基础题．
3．（2020•宝安区校级模拟）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（ ）
A．2B．823C．3D．833
【解析】解：由l1∥l2得：1a−2=a3≠62a，
解得：a＝﹣1，
∴l1与l2间的距离d=6−2312+(−1)2=823，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0的条件A1B2﹣A2B1＝0的应用，及两平行线间的距离公式d=|C2−C1|A2+B2的应用．
4．（2019秋•雅安期末）过直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点，且过原点的直线方程为（ ）
A．2x﹣y＝0B．2x+y＝0C．x﹣2y＝0D．x+2y＝0
【解析】解：联立x−2y+4=0x+y+1=0，
解得两条直线l1：x﹣2y+4＝0与直线l2：x+y+1＝0的交点（﹣2，1）．
∴过点P（﹣2，1）且过原点（0，0）的直线方程为：
yx=1−2，即x+2y＝0．
故选：D．
【点睛】本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题．
5．（2020•中山区校级一模）在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则正实数m的最小值是（ ）
A．13B．3C．33D．3
【解析】解：设P（1﹣my，y），由|PA|＝2|PB|得
（1﹣my﹣1）2+y2＝4×[（1﹣my﹣4）2+y2]
化简得（m2+1）y2+8my+12＝0，
∴△64m2﹣48（m2+1）≥0，
解得m≥3或m≤−3（舍），
易知m=3时，y=−3．
故m的最小值为3．
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养．
6．（2019秋•芜湖期末）若点A（0，t）与曲线y＝lnx上点B距离最小值为23，则实数t为（ ）
A．ln2+3B．ln3+2C．12ln3+3D．12ln2+2
【解析】解：设点B坐标为（x0，lnx0），其中x0＞0，
∵y'=1x，∴过点B的切线斜率为1x0，
∵当直线AB与过点B的切线垂直时，点A与点B间的距离最小，∴此时lnx0−tx0=−x0，∴lnx0−t=−x02，
点A与点B间的距离最小值x02+(lnx0−t)2=x02+x04=23，
即x04+x02−12=0，解得：x02=3，又∵x0＞0，∴x0=3，
∴t=lnx0+x02=ln3+3=12ln3+3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系，以及两点间距离公式，是中档题．
7．（2019秋•黄浦区期末）已知a∈R，若不论a为何值时，直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0总经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．(−27，17)D．(17，−27)
【解析】解：由直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0，知a（3y﹣2x﹣1）+（x+2y）＝0．
∵不论a为何值时，直线l：（1﹣2a）x+（3a+2）y﹣a＝0总经过一个定点，即a有无数个解，
∴3y﹣2x﹣1＝0且x+2y＝0，
∴x=−27，y=17，
∴这个定点的坐标是(−27，17)．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是恒过定点的直线，处理的方法是将直线方程化成两部分：一部分含参数，一部分不含参数，让两部分的系数均为0，构造方程组．
8．（2019秋•濮阳期末）点A（﹣3，2），B（3，2），直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是（ ）
A．−43≤a≤12B．a≥1或a≤﹣1C．﹣1≤a≤1D．a≥43或a≤12
【解析】解：由直线ax﹣y﹣1＝0的方程，判断恒过P（0，﹣1），
如下图示：
∵KPA＝﹣1，KPB＝1，
结合图象可得：实数a的取值范围是：a≤﹣1或a≥1．
故选：B．
【点睛】求恒过P点且与线段AB相交的直线的斜率的取值范围，有两种情况：
当AB，在P竖直方向上的同侧时，（如本题）计算KPA与KPB，若KPA＜KPB，则直线的斜率k∈[KPA，KPB]
当AB，在P竖直方向上的异侧时，（如下图）计算KPA与KPB，若KPA＜KPB，则直线的斜率k∈（﹣∞，KPA]∪[KPB，+∞）
就是过p点的垂直x轴的直线与线段有交点时，斜率范围写两段区间，无交点时写一段区间．
9．（2019秋•城关区校级期末）已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．513B．34C．55D．226
【解析】解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，
∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，
设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），
则a−32−5+b2+1=0b−5a+3=−1，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2），
∴|PA|+|PB|的最小值为：
|BC|=(4−2)2+(−2−8)2=226．
故选：D．
【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2019秋•西湖区校级期末）已知两点A(1，63)，B(0，53)到直线l的距离均等于a，且这样的直线可作4条，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．0＜a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜2
【解析】解：由题意如图所示：因为若A，B在直线的同一侧，可做两条直线，
所以若有这样的直线有4条，则当A，B两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，
所以2a小于A，B的距离，
因为|AB|=(1−0)2+(63−53)2=2，
所以0＜2a＜2，
所以：0＜a＜1，
故选：B．
【点睛】考查点到直线的距离公式，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
11．（2020•通州区一模）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为 1 ．
【解析】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），
所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x+3y+1=0的距离d=|1+1|12+(3)2=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式，是基础题．
12．（2019秋•浏阳市期末）两条平行直线l：3x+4y＝4与m：3x+4y﹣9＝0之间的距离d＝ 1 ．
【解析】解：两条平行直线l：3x+4y﹣4＝04与m：3x+4y﹣9＝0之间的距离d=|−4+9|32+42=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的知识要点：两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
13．（2020春•鼓楼区校级期中）已知直线l1：4x+2y﹣7＝0和l2：2x+y﹣1＝0，直线m分别与l1，l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为 52 ．
【解析】解：由题知，l2：4x+2y﹣2＝0，
两直线间的距离d=542+(−2)2=52，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（2020•佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，对曲线C上任意一点P，P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，则曲线C与y轴的交点坐标是 （0，±1） ；设点A（−54，0），则|PO|+|PA|的最小值为 74 ．
【解析】解：设P（x，y），P到直线x+1＝0的距离与该点到点O的距离之和等于2，
则|x+1|+x2+y2=2，
令x＝0，1+|y|＝2，y＝±1，故曲线C与y轴的交点为（0，1），（0，﹣1），
当x≥﹣1时，由x2+y2=1−x，其表示P到原点的距离与到直线x＝1的距离相等，
故轨迹方程是以原点O为焦点，x＝1为准线的在x≥﹣1的抛物线，
根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AB|＝1+54=94，
当x＜﹣1时，x2+y2=x+3，表示P到原点的距离与到直线x＝﹣3的距离相等，
故轨迹方程是以原点O为焦点，x＝﹣3为准线的在x＜﹣1的抛物线，
根据题意，当O，P，A三点共线时，则|PO|+|PA|的最小为|AC|=−54+3=74，
综上，|PO|+|PA|的最小值为74，
故答案为：（0，±1）；74．
【点睛】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．
三．解答题（共3小题）
15．（2019秋•渭滨区期末）已知直线l：x﹣2y+6＝0在x轴上的截距为m，在y轴上的截距为n．
（1）求实数m，n的值；
（2）求点（m，n）到直线l的距离．
【解析】解：（1）令x＝0，得y＝3；令y＝0，得x＝﹣6，所以m＝﹣6，n＝3．
（2）由（1）知点（m，n）为（﹣6，3），
所以点（m，n）到直线l的距离为d=|−6−2×3+6|1+4=65=655．
【点睛】本题主要考查了直线的截距及点到直线的距离公式的简单应用，属于基础试题．
16．（2019秋•包河区校级期末）已知直线l方程为x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；
（2）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．
【解析】解：（1）证明：x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，化为：（x﹣y﹣2）﹣m（y﹣3）＝0．
联立：（x﹣y﹣2）＝y﹣3＝0．解得x＝5，y＝3．交点（5，3），
故定点P的坐标为（5，3）．
（2）对于直线l方程为x﹣（m+1）y+3m﹣2＝0，m∈R．
当直线l不经过原点时，令y＝0，可得x＝﹣3m+2≠0，再令x＝0，可得y=3m−2m+1，
所以＝﹣3m+2=3m−2m+1，解得m＝﹣2，
故直线l的方程为：x+y﹣8＝0．
当直线l经过原点时，3m﹣2＝0，解得m=23，故直线l的方程3x﹣5y＝0．
故要求的直线l的方程为：x+y﹣8＝0或3x﹣5y＝0．
【点睛】本题考查了直线系、截距式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（2020春•江宁区校级月考）设直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
（2）若直线1分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；
（3）当直线1在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l的方程．
【解析】解：（1）直线1的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．整理可得：a（x﹣2）+x+y﹣5＝0，当x﹣2＝0时不论a为何值，x+y﹣5＝0，即x＝2，y＝3，
可证当不论a为何值，直线恒过定点（2，3）；
（2）x＝0时，y＝2a+5，即yB＝2a+5，
因为a＝﹣1时，直线与x轴无交点，所以a≠﹣1，令y＝0时x=2a+5a+1，即A（2a+5a+1，0），B（0，2a+5），
x轴正半轴，y轴正半轴，所以2a+5＞0，且a+1＞0，所以a＞﹣1，
所以|AB|=(2a+5a+1)2+(2a+5)2=|2a+5|1+(a+1)2|a+1|=，
O到直线的距离d=|2a+5|1+(a+1)2，
所以S△AOB=12|AB|⋅d=12•|2a+5|1+(a+1)2||a+1|⋅|2a+5|1+(a+1)2=12⋅(2a+5)2|a+1|=12•[4|a+1|+|9a+1|+12]≥12⋅[24×9+12]＝12，
当且仅当|a+1|2=94，即a+1=32面积最小即a=12，所以A（4，0），B（0，6），
所以这时周长为|OA|+|OB|+|AB|＝4+6+42+62=10+213；
（3）因为直线1在两坐标轴上的截距均为整数，即（0，2a+5），（2a+5a+1，0）都是整数，
2a为整数，设t＝2a，t为整数，则a=t2，且直线恒过定点（2，3），
而2a+5a+1=2+3a+1=2+3t2+1=2+6t+2为整数，所以t+2为6的因数，
t+2＝﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，6，即t＝﹣8，﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，1，4，
进而可得a＝﹣4，−52，﹣2，−32，−12，0，12，2，
所以直线方程分别为：3x﹣y﹣3＝0，3x﹣2y＝0，x﹣y+1＝0，x﹣2y+4＝0，x+2y﹣8＝0，x+y﹣5＝0，3x+2y﹣12＝0，3x+y﹣9＝0，
【点睛】本题考查直线恒过定点的问题及直线与坐标轴围成的面积最小的情况，属于中档题