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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)期末测试卷(二)(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)期末测试卷(二)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了在中，为的中点，点满足，则等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．4D．5
2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．6
3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A．7B．6C．5D．4
4．已知向量，且，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．
5．在中，为的中点，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则（ ）
A．B．1C．2D．4
7．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A．﹣6B．﹣4C．2D．4
8．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）
A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个
B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为
C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为
D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度
10．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为B．侧面积之比为
C．体积之比为D．体积之比为
11．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
12．在三角形内，下列说法中正确的是（ ）
A．若三角形是锐角三角形，则
B．若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形
C．是的必要条件
D．若，则直线一定经过这个三角形的外心
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.
14．某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答）
15．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______．
16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
18．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
19．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.
20．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
(3)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
21．如图，在三棱锥中，平面平面,，O为的中点，且是边长为2的等边三角形，点E是棱的中点；
(1)证明；
(2)若二面角的大小为，求点O到平面的距离．
22．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
(1)证明：；
(2)若，，，求直线与平面所成的角．
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
空气质量指数（）
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
期末测试卷（二）
范围：必修二第六章—第十章
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．4D．5
【解析】因为复数，
所以，
所以，
故选：B
2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．6
【解析】设平行四边形的原图为，在轴上，由直观图和原图的关系，原图的，平行四边形的高为，原图的高就是，则原图形的面积为.
故选：C.
3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解析】由条件可知抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和.
故选：B
4．已知向量，且，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【解析】，，得，
.
故选：D
5．在中，为的中点，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意.
故选：C
6．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
则圆柱的体积为，球的体积为，则，
圆柱的表面积为，球的表面积为，则，
所以.
故选：B
7．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A．﹣6B．﹣4C．2D．4
【解析】因为向量，的夹角的余弦值为，且，，
所以，
故选：A
8．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】若为中点，连接，又是棱中点，
所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，
所以，则直线与直线所成角即为，
若，则，，
所以.
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）
A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个
B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为
C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为
D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度
【解析】10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度，
共5个季度，A正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为，B错误；
由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为，C正确；
与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差，
而2019年第4季度与上一季度相差，D错误.
故选：AC
10．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为B．侧面积之比为
C．体积之比为D．体积之比为
【解析】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.
故选：BD.
11．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
【解析】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
12．在三角形内，下列说法中正确的是（ ）
A．若三角形是锐角三角形，则
B．若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形
C．是的必要条件
D．若，则直线一定经过这个三角形的外心
【解析】对于A，若三角形是锐角三角形，，所以，
在锐角三角形中，不妨设，所以，又因为，所以，，得，所以，有，A正确；
对于B，O是三角形的内心，且满足，根据角平分线的性质和奔驰定理（证明见备注），可得，设，
得，所以，该三角形一定是钝角三角形，B正确；
备注：证明过程：已知是内的角平分线，，，的面积分别为，，，求证：.
证明：延长与边相交于点，则，，∵，∴，∴，所以，设内切圆的半径为，，则，整理得，
.
对于C，只证必要性即可，因为，，当，时，，；当，时，，则有，所以，成立，所以，必要性成立；所以，C正确；
对于D，，因为
，所以，
，因此，所以，直线一定经过这个三角形的垂心，故D错误；
故选：ABC
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.
【解析】该组数据从小到大排列为85，87，88，90，92，共5个数据,
所以，
所以这组数据的第60百分位数为，
故答案为：89
14．某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答）
【解析】记出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14：00～15:00这3个时间段降雨分别为事件A，B，C，出游当天在12:00～15:00时间段内降雨为事件D，则，由对立事件与相互独立事件的概率计算公式得.
故答案为：0.88．
15．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______．
【解析】由已知可得为所求二面角的平面角，
设等腰直角的直角边长度为，则，
由余弦定理可得：，
则在中，，
即所求二面角大小是.
故答案为：
16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．
【解析】由题知，
解得.
故答案为：0.3
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
【解析】(1)由题意有，解得.
(2)应聘者笔试成绩的众数为，
应聘者笔试成绩的平均数为．
(3)，所以，面试成绩的最低分为百分位数，
前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，
设百分位数为，则，解得.
因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.
18．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
【解析】(1)记“甲投篮命中”为事件，“乙投篮命中”为事件, 则，，
由甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以与互为独立事件，
那么，恰好有1人命中的概率.
(2)由（1），两人都没有命中的概率，
所以，至少有1人命中的概率.
19．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.
【解析】选择①
，
，
即，
化简得：，
又，
，
即，，
，，
由余弦定理得:，
解得:，，
的面积为；
选择②
，
由正弦定理可得，
又，
，
由，
即，
，
即，，
由余弦定理得，
解得：，，
的面积为；
选择③
由及，
得：，
即，
由正弦定理得：，
，即，
，
，
由，得：，，
，
，
的面积为.
20．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
(3)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
【解析】(1)∵0.004×50＝，解得n＝100，
∵20＋40＋m＋10＋5＝100，解得m＝25，
完成频率分布直方图如图：
(2)由频率分布直方图知该组数据的平均数为：
＝25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95．
∵[0，50）的频率为0.004×50＝0.2，[50，100）的频率为0.008×50＝0.4，
∴该组数据的中位数为：．
(3)空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分别抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，
将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．
从中任取2天的基本事件分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10天，
其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6天，
∴事件A“两天空气都为良”发生的概率P（A）＝.
21．如图，在三棱锥中，平面平面,，O为的中点，且是边长为2的等边三角形，点E是棱的中点；
(1)证明；
(2)若二面角的大小为，求点O到平面的距离．
【解析】(1)证明：∵，为的中点
∴
又∵平面平面，平面平面,平面
∴平面
又∵平面
∴
(2)
如图，取的中点，取的靠近端点的四等分点,并连接,,,
∵、分别为、的中点，
∴,且
∴平面,
又∵、分别为、的四等分点，
∴,且
∵O为的中点，且是边长为2的等边三角形，
∴,且为直角三角形，
∴，
又∵
∴
又∵平面，为在平面中的射影,平面
∴
∴即二面角的平面角，即
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
设点O到平面的距离为，则
∵
∴
∴
故点O到平面的距离为.
22．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
(1)证明：；
(2)若，，，求直线与平面所成的角．
【解析】(1)证明：连接，交于点，连接．
因为四边形为菱形，所以，是的中点，
又因为，所以，
因为，平面，平面，.
(2)因为，所以直线与面所成角等于直线与面所成角．
因为，所以，
又因为，，，所以，，
所以，即，
，，所以面，所以是直线与面所成角．
因为，所以，所以直线与面所成角等于，
所以直线与面所成角等于．
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
空气质量指数（）
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．4D．5
2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．6
3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A．7B．6C．5D．4
4．已知向量，且，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．
5．在中，为的中点，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则（ ）
A．B．1C．2D．4
7．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A．﹣6B．﹣4C．2D．4
8．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）
A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个
B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为
C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为
D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度
10．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为B．侧面积之比为
C．体积之比为D．体积之比为
11．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
12．在三角形内，下列说法中正确的是（ ）
A．若三角形是锐角三角形，则
B．若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形
C．是的必要条件
D．若，则直线一定经过这个三角形的外心
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.
14．某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答）
15．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______．
16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
18．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
19．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.
20．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
(3)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
21．如图，在三棱锥中，平面平面,，O为的中点，且是边长为2的等边三角形，点E是棱的中点；
(1)证明；
(2)若二面角的大小为，求点O到平面的距离．
22．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
(1)证明：；
(2)若，，，求直线与平面所成的角．
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
空气质量指数（）
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
期末测试卷（二）
范围：必修二第六章—第十章
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．4D．5
【解析】因为复数，
所以，
所以，
故选：B
2．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．6
【解析】设平行四边形的原图为，在轴上，由直观图和原图的关系，原图的，平行四边形的高为，原图的高就是，则原图形的面积为.
故选：C.
3．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解析】由条件可知抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和.
故选：B
4．已知向量，且，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．
【解析】，，得，
.
故选：D
5．在中，为的中点，点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意.
故选：C
6．“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他死后，墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形．如图，球与圆柱的侧面及上、下底面相切，设圆柱体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则（ ）
A．B．1C．2D．4
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
则圆柱的体积为，球的体积为，则，
圆柱的表面积为，球的表面积为，则，
所以.
故选：B
7．已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A．﹣6B．﹣4C．2D．4
【解析】因为向量，的夹角的余弦值为，且，，
所以，
故选：A
8．已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】若为中点，连接，又是棱中点，
所以，在直三棱柱中且，即为平行四边形，
所以，则直线与直线所成角即为，
若，则，，
所以.
故选：C
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．产能利用率是工业总产出对生产设备的比率，反映了实际生产能力到底有多少在运转发挥生产作用.汽车制造业的产能利用率的正常值区间为，称为“安全线”.如图是2017年第3季度到2019年第4季度的中国汽车制造业的产能利用率的统计图.以下结论正确的是（ ）
A．10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度有5个
B．10个季度中，汽车产能利用率的中位数为
C．2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为
D．与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2019年第4季度
【解析】10个季度中，汽车产能利用率低于“安全线”的季度为2018年第4季度到2019年第4季度，
共5个季度，A正确；10个季度中，汽车产能利用率的中位数为，B错误；
由图可知，2018年4个季度的汽车产能利用率的平均数为，C正确；
与上一季度相比，汽车产能利用率变化最大的是2018年第1季度，与上一季度相差，
而2019年第4季度与上一季度相差，D错误.
故选：AC
10．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是（ ）
A．侧面积之比为B．侧面积之比为
C．体积之比为D．体积之比为
【解析】依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，
所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，
所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，
即小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为.
故选：BD.
11．已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A．当时，复平面内表示复数的点位于第二象限
B．当时，为纯虚数
C．最大值为
D．的共轭复数为
【解析】对于A，当时，，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；
对于B，当时，，为纯虚数，故B正确；
对于C，，最大值为，故C正确；
对于D，的共轭复数为，故D错误.
故选：BC.
12．在三角形内，下列说法中正确的是（ ）
A．若三角形是锐角三角形，则
B．若O是三角形的内心，且满足，则这个三角形一定是钝角三角形
C．是的必要条件
D．若，则直线一定经过这个三角形的外心
【解析】对于A，若三角形是锐角三角形，，所以，
在锐角三角形中，不妨设，所以，又因为，所以，，得，所以，有，A正确；
对于B，O是三角形的内心，且满足，根据角平分线的性质和奔驰定理（证明见备注），可得，设，
得，所以，该三角形一定是钝角三角形，B正确；
备注：证明过程：已知是内的角平分线，，，的面积分别为，，，求证：.
证明：延长与边相交于点，则，，∵，∴，∴，所以，设内切圆的半径为，，则，整理得，
.
对于C，只证必要性即可，因为，，当，时，，；当，时，，则有，所以，成立，所以，必要性成立；所以，C正确；
对于D，，因为
，所以，
，因此，所以，直线一定经过这个三角形的垂心，故D错误；
故选：ABC
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第60百分位数为________.
【解析】该组数据从小到大排列为85，87，88，90，92，共5个数据,
所以，
所以这组数据的第60百分位数为，
故答案为：89
14．某旅行团查看出游当天的天气情况，某天气预报软件预测出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14:00 ～15:00这3个时间段内降雨的概率分别为0.5，0.4，0.6，则该旅行团出游当天在12:00～15:00时间段内降雨的概率为______.（用数字作答）
【解析】记出游当天在12:00～13:00，13:00～14:00，14：00～15:00这3个时间段降雨分别为事件A，B，C，出游当天在12:00～15:00时间段内降雨为事件D，则，由对立事件与相互独立事件的概率计算公式得.
故答案为：0.88．
15．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，使得．那么这个二面角大小是_______．
【解析】由已知可得为所求二面角的平面角，
设等腰直角的直角边长度为，则，
由余弦定理可得：，
则在中，，
即所求二面角大小是.
故答案为：
16．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．
【解析】由题知，
解得.
故答案为：0.3
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．
【解析】(1)由题意有，解得.
(2)应聘者笔试成绩的众数为，
应聘者笔试成绩的平均数为．
(3)，所以，面试成绩的最低分为百分位数，
前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，
设百分位数为，则，解得.
因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.
18．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
【解析】(1)记“甲投篮命中”为事件，“乙投篮命中”为事件, 则，，
由甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以与互为独立事件，
那么，恰好有1人命中的概率.
(2)由（1），两人都没有命中的概率，
所以，至少有1人命中的概率.
19．在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.
【解析】选择①
，
，
即，
化简得：，
又，
，
即，，
，，
由余弦定理得:，
解得:，，
的面积为；
选择②
，
由正弦定理可得，
又，
，
由，
即，
，
即，，
由余弦定理得，
解得：，，
的面积为；
选择③
由及，
得：，
即，
由正弦定理得：，
，即，
，
，
由，得：，，
，
，
的面积为.
20．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；
(3)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
【解析】(1)∵0.004×50＝，解得n＝100，
∵20＋40＋m＋10＋5＝100，解得m＝25，
完成频率分布直方图如图：
(2)由频率分布直方图知该组数据的平均数为：
＝25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95．
∵[0，50）的频率为0.004×50＝0.2，[50，100）的频率为0.008×50＝0.4，
∴该组数据的中位数为：．
(3)空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分别抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，
将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．
从中任取2天的基本事件分别为：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10天，
其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6天，
∴事件A“两天空气都为良”发生的概率P（A）＝.
21．如图，在三棱锥中，平面平面,，O为的中点，且是边长为2的等边三角形，点E是棱的中点；
(1)证明；
(2)若二面角的大小为，求点O到平面的距离．
【解析】(1)证明：∵，为的中点
∴
又∵平面平面，平面平面,平面
∴平面
又∵平面
∴
(2)
如图，取的中点，取的靠近端点的四等分点,并连接,,,
∵、分别为、的中点，
∴,且
∴平面,
又∵、分别为、的四等分点，
∴,且
∵O为的中点，且是边长为2的等边三角形，
∴,且为直角三角形，
∴，
又∵
∴
又∵平面，为在平面中的射影,平面
∴
∴即二面角的平面角，即
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
设点O到平面的距离为，则
∵
∴
∴
故点O到平面的距离为.
22．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
(1)证明：；
(2)若，，，求直线与平面所成的角．
【解析】(1)证明：连接，交于点，连接．
因为四边形为菱形，所以，是的中点，
又因为，所以，
因为，平面，平面，.
(2)因为，所以直线与面所成角等于直线与面所成角．
因为，所以，
又因为，，，所以，，
所以，即，
，，所以面，所以是直线与面所成角．
因为，所以，所以直线与面所成角等于，
所以直线与面所成角等于．
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
空气质量指数（）
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
20
40
m
10
5
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