第4讲复数的概念(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版）

这是一份第4讲复数的概念(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（解析版），共37页。试卷主要包含了复数的概念，复数的几何意义，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、复数的概念
1.虚数单位：
1）满足；
2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立．
3）与的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是．
4）i的周期性：，，，．于是就有．
2.数系的扩充：复数
3.复数的定义：
基本概念：形如（）的数叫复数，称为复数的实部，称为复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
4.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．
5.两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，， ，那么且．特殊地，当时，．
6.复数模的性质：
1）；
2）；
3）；
4）．
7.共轭复数：
定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭用表示．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
数的性质：设，则（1）；（2）；（3）．
二、复数的几何意义
1.共轭复复平面、实轴、虚轴：
概念:复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.几何表示：复数复平面内的点或向量是向量的几何表示．
注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量应特别注意它是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数多个．
考点一：数系的扩充和复数的概念
例1．（2021·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
【答案】D
【分析】
根据复数相等的定义求解．
【详解】
，又，
所以，解得或，
所以或8．
故选：D．
例2．（2022·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据复数的分类求出实数后可得结论．
【详解】
由题意，，，，
所以．
故选：C．
例3．（2021·全国·高一课时练习）请说出下列复数的实部和虚部．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)0．
【答案】(1)实部为2，虚部为3
(2)实部为，虚部为
(3)实部为，虚部为1
(4)实部为，虚部为0；
(5)实部为0，虚部为
(6)实部为0，虚部为0
【解析】
【分析】
直接根据复数实部虚部的定义得到答案.
(1)的实部为2，虚部为3.
(2)的实部为，虚部为.
(3)的实部为，虚部为1.
(4)的实部为，虚部为0.
(5)的实部为0，虚部为.
(6)0实部为0，虚部为0.
例4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数（），且，求k的值.
【答案】2
【分析】
由可判定是负实数，进而得到关于的关系式即可求解.
【详解】
因为，所以是负实数，
则，解得.
例5．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1)；(2)且；(3).
【分析】
（1）令虚部等于且即可求解；
（2）令虚部不等于且即可求解；
（3）令实部等于，虚部不等于即可求解.
(1)若复数为实数，则 ，可得，
所以当时，复数表示实数.
(2)若复数为虚数，则，可得且，
所以当且时，复数表示虚数.
(3)若复数为纯虚数，则，解得：．
所以当时，复数为纯虚数.
例6．（2021·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）根据复数相等的定义计算．
（2）根据复数相等的定义计算．
(1)由题意，解得．
(2)由题意，解得．
例7．（2021·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
【答案】或或或
【分析】
复数等于2，说明虚部为零，实部为2，解方程即可得到答案，要注意答案的对应关系.
【详解】
根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得 ，， ， 所以或或或.
故答案为：或或或.
例8．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
【答案】(1)当或时复数为实数，当且时复数为虚数
(2)当时复数为纯虚数
【分析】
(1)根据实数的特点列方程求m使得复数为实数，再根据虚数的特点列方程求m使得复数为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m使得复数为纯虚数.
(1)若复数为实数，则
∴ 或，
若复数为虚数，则
∴ 且，
(2)若复数纯虚数，则
且，
由可得或，
又时不存在，时，
所以.
例9．（2021·全国·高一课时练习）设△ABC的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1=a+bi，z2=csA+icsB，若复数z1·z2为纯虚数，试判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】等腰三角形或直角三角形，理由见解析.
【分析】
根据为纯虚数,可得再利用正弦定理，结合三角恒等变换，即可得到答案；
【详解】
△ABC为等腰三角形或直角三角形.
理由如下:因为,
所以.
又因为为纯虚数,
所以
由(1)及正弦定理,得,
即.因为A，B为的内角,
所以,且.
所以或,即或.
即或.故为等腰三角形或直角三角形.
例10．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）已知，复数.
（1）当为何值时，复数为实数？
（2）当为何值时，复数为虚数？
（3）当为何值时，复数为纯虚数？
【答案】（1）；（2）且；（3）或.
【分析】
（1）若复数z为实数,则虚部为0,由此可求得m的值；
（2）若复数z为虚数,则虚部不为0,由此可求得m的值；
（3）若复数z为纯虚数,则实部为0,且虚部不为0,由此可求得m的值.
【详解】
（1）要使为实数，
只需，解得：m=6；
（2）要使为虚数，
只需，解得：且；
（3）要使为纯虚数，
只需，解得：或.
考点二：复数的几何意义
例1．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（ ）
A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应
【答案】D
【分析】
根据复数的定义和几何意义即可解答.
【详解】
A：，当时,不是纯虚数，故A错误；
B：如果a＋bi＝c＋di，当且仅当a、b、c、d∈R时，a＝c，b＝d，故B错误；
C：复平面上，虚轴上的点除原点外与纯虚数一一对应，故C错误；
D：复平面上，实轴上的点与实数一一对应，故D正确.
故选：D.
例2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）设复数，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据复数模的定义求解即可.
【详解】
,.
故选：B
例3．（2022·全国·高一）在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】
根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可.
【详解】
复数对应的点的坐标为
由题干得到
故选：D.
例4．（2022·全国·高一）若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．13C．10D．
【答案】A
【分析】
因为复数为纯虚数故得到，再由复数模长公式计算得到结果.
【详解】
复数为纯虚数，故需要
故选：A
例5．（2022·全国·高一）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
【答案】C
【分析】
先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数.
【详解】
，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个.
故选：C
例6．（2021·全国·高一课时练习）设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个．
【答案】4
【分析】
方法一(代数运算)：联立方程组求解；
方法二(几何意义)：利用复数的几何意义求解﹒
【详解】
方法一(代数运算)：由，得．又，联立，解得，
故答案为：4
方法二(几何意义)：由，知复数在复平面内对应的点构成一个单位圆．又，故复数在复平面内对应的点落在直线上，显然直线与单位圆有四个交点，
故答案为：4
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知复数的实部为1，，则______．
【答案】
【分析】
利用复数的模的概念即得.
【详解】
由题可设，又，
∴，解得，
∴.
故答案为：.
例8．（2021·全国·高一课时练习）若复数，则的最大值为______．
【答案】2
【分析】
根据复数模的运算公式，结合余弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
，当时，，
故答案为：
例9．（2022·全国·高一）已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
【答案】
【分析】
由题意设对应点为且，结合已知可得，即知z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离.
【详解】
由题意，设对应点为，则，
∴，则.
∴z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为.
故答案为：.
例10．（2022·全国·高一）若，则取值范围是______
【答案】[3，7]
【分析】
根据复数的几何意义对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，求出对应的点到的距离的最值即可.
【详解】
根据复数的几何意义可得表示对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，
则表示对应的点到的距离，设为，
则到距离为，
所以，，
所以取值范围是.
故答案为：.
例11．（2021·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
【答案】或6
【分析】
根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.
【详解】
复数对应点的坐标为，，
若点在虚轴上，
则，解得或．
故答案为：或6.
例12．（2021·全国·高一单元测试）已知，且，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
将问题转化为到定点的距离小于或等于1的动点所成图形，再应用数形结合法求的取值范围.
【详解】
若且，则问题转化为到的距离小于或等于1的动点所在区域，
∴在以为圆心，半径为1的圆上或内，如下图示：
∴的取值范围为.
故答案为：
例13．（2021·全国·高一课时练习）复数在复平面上所对应的点为.请说出当复数z分别满足下列条件时点Z在复平面上所在的位置.
(1)z是负实数；
(2)z是虚部小于零的纯虚数.
【答案】(1)点Z在复平面上实轴负半轴
(2)点Z在复平面上虚轴负半轴
【分析】
（1）由复平面可以知道复数的实部是横坐标，复数的虚部为纵坐标，所以z是负实数时，虚部为零，既在实轴上.
(2) 由复平面可以知道复数的实部是横坐标，复数的虚部为纵坐标，z是虚部小于零的纯虚数，所以实部为零，虚部小于零.
(1)
复平面定义可知复数的实部是横坐标，复数的虚部为纵坐标，所以z是负实数时，虚部为零，既在实轴上负半轴.
(2)
由复平面可以知道复数的实部是横坐标，复数的虚部为纵坐标，z是虚部小于零的纯虚数，所以实部为零，虚部小于零，点Z在复平面上虚轴负半轴
故答案为：点Z在复平面上实轴负半轴；点Z在复平面上虚轴负半轴.
例14．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，描出表示下列复数的点：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)5； (6)．
【分析】
（1）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（2）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（3）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（4）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（5）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
（6）实部为横坐标，虚部为纵坐标，得点，在坐标系画出；
(1)对应点为，
(2)对应点为（－3,2），
(3)对应点，
(4)对应点
(5)对应点，
(6)对应点，
例15．（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求.
【答案】
【分析】
根据复数的几何意义，以及向量的运算法则，即可求解.
【详解】
设复数对应的向量分别为，
因为，可得，
且，
解得，
所以，所以.
故答案为：.
例16．（2021·全国·高一课时练习）已知复数在复平面上所对应的点在第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】
由复数的实部和虚部均小于0可得．
【详解】
由题意，解得．
例17．（2022·全国·高一）设复数，当取何实数时：
(1)复数z为纯虚数；
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；
(3)表示z的点在直线上．
【答案】(1)复数不可能为纯虚数(2)(3)
【分析】
（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
(1)由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
(2)由表示的点位于第三象限，则解得；
(3)由表示的点在直线上，则，解得．
例18．（2021·全国·高一课时练习）设复数（x，，且），又，且，求的值及Rez的取值范围．
【答案】1，
【分析】
把复数化为代数形式，得出实部和虚部，再根据得其为实数，由虚部等于0求得可得，再根据的范围得的范围．
【详解】
因为，所以，即．又，则，即．于是，所以
例19．（2021·全国·高一课时练习）设，，，求的最小值．
【答案】
【分析】
结合已知条件表示出，利用二次函数性质求解即可.
【详解】
，
因为，所以由二次函数性质可知，当时，有最小值10，
即的最小值为.
例20．（2021·上海市建平中学高一期末）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）不存在，答案见解析.
【分析】
（1），，，由是复数组，，的“复数”，从而，由此能求出结果．
（2）由，，存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”，列不等式组求出结果．
（3）严格减．推导出当为奇数时，复数组，，，，存在“复数”，当为偶数时，复数组，，，，不存在“复数”．
【详解】
解：（1），，，∵是复数组，，的“复数”，
∴，代入得，化简得，∴．
（2）若，，均是复数组，，的“复数”，则，设，，2，3，则，
相加得，所以，所以．
（3）因为严格递减
当为奇数时，，
，∴，
所以当为奇数时，复数组，，，…，存在“复数”，是复数组，，，…，的“复数”．
为偶数时，，
，
∴，所以当为偶数时，复数组，，，…，不存在“复数”．
例21．（2021·全国·高一课时练习）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据新定义求得向量，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出的坐标（用表示），然后由三角形面积计算可得．
【详解】
（1）由题意，，所以，同理，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，所以与的三边成比例，比值为，
所以；
（3）由（1）知，，，
，所以，，，
所以．
【点睛】
本题考查向量与复数的新定义，解题关键是由新定义得出原来点的坐标和新点坐标的关系，从而得出向量的关系，变换后的三角形与原三角形相似，而利用变换后点的坐标结合三角形面积易得原坐标．
一、单选题
1．（2021·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（ ）
A．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系
B．在复平面中，实轴上的点都表示实数
C．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数
D．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系
【答案】C
【分析】
由复数的相关概念依次判断各选项即可.
【详解】
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系,故A正确；
在复平面中，实轴上的点都表示实数，但是虚轴上的点是除了坐标原点外，都表示纯虚数，
故B正确，C错误；
复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系，故D正确..
故选：C.
2．（2021·全国·高一课时练习）复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）
A．=(1，2)B．=(-3，0)
C．D．=(-1，-2)
【答案】C
【分析】
结合纯虚数概念判断即可
【详解】
向量对应的复数为i，是纯虚数.
故选：C
3．（2021·全国·高一课时练习）复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）
A．﹣3﹣4iB．4+3iC．﹣4﹣3iD．﹣3+4i
【答案】A
【分析】
根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果．
【详解】
解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．
4．（2021·全国·高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
直接根据范围的大小关系得到答案.
【详解】
根据范围的大小关系得到：.
故选：C.
5．（2021·江苏·高一专题练习）已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
6．（2021·浙江浙江·高一期末）若复数（a，b为实数）都可以表示为的形式，其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作．例如的三角形式为，则，已知复数，则z的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意得复数在复平面内对应的点为，且在第四象限，进而设，则，，再根据三角函数关系化简整理即可得其关系，进而求解.
【详解】
解：复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，所以在第四象限，
如图所示，设，
则，即，
因为，，
所以，所以，所以
所以z的辐角主值为.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的几何意义，三角函数恒等变换，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件，在复平面内对应的点为，且在第四象限，再数形结合，设，进而结合三角函数关系求解即可.
二、多选题
7．（2021·浙江浙江·高一期末）下列命题正确的（ ）
A．若复数，则
B．若，，则复数的虚部是
C．若，则的最小值为1
D．已知，若关于x的方程有实数根，则实根必为．
【答案】AC
【分析】
由复数模公式即可判断A C；由复数虚部定义可判断B；由复数相等定义可判断D．
【详解】
对A选项，，故，A正确；
对B选项，，故虚部为2，B错误；
对C选项，设，且，
则，所以
因为，当时最小值为1，故C正确；
对D选项，关于x的方程有实数根，
则 解得，故D错误．
故选：AC
8．（2021·湖南·雅礼中学高一期末）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（ ）
A．当为纯虚数时，三点共线
B．当时，为等腰直角三角形
C．对任意复数，
D．当为实数时，
【答案】ABD
【分析】
设，则，对A、C、D按要求写出复数对应的坐标，即可判断正误；对B写出，坐标并求出各边的长度即可判断C的正误.
【详解】
设，则，
对A：当为纯虚数时，，对应的点分别为、，均在轴上，所以三点共线，故A正确；
对B: 当时，，所以，，所以，而，
所以，所以为等腰直角三角形，故B正确；
对C：,,当时，，故C错误；
对D：当为实数时，，此时，故D正确.
故选：ABD
9．（2021·重庆复旦中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．当时，复数是纯虚数
B．复数对应的点在第一象限
C．复数，则
D．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
【答案】ACD
【分析】
对选项A：将代入复数判断即可；对选项B：求出复数对应的点的坐标判再判断即可；对选项C：将复数化简后求出，再判断即可；对选项D：由求出向量对应的复数，再判断即可.
【详解】
对选项A：当时，复数是纯虚数，故A正确；
对选项B：对应的点的坐标为在轴上，故B错误；
对选项C：，所以，故C正确；
对选项D：，故D正确.
故选：ACD
10．（2021·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
【答案】AC
【分析】
由，得，然后逐个分析判断即可
【详解】
由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC
11．（2021·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（ ）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
【答案】AD
【分析】
由虚数的概念可判断ABC，由复数的几何意义可判断D.
【详解】
对于A，根据虚数的定义，A正确；
对于B，虚数不能比较大小，B错误；
对于C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；
对于D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．
故选：AD．
三、填空题
12．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）__________．
【答案】
【分析】
直接算出答案即可.
【详解】
故答案为：
13．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cs(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
【答案】
【分析】
当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.
【详解】
由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.
由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.
因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由“的面积等于的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积”.
14．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为_______
【答案】5
【分析】
设，（），从而可得，即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解.
【详解】
设，（），
，
，
即，即，
故、对应平面内距离为的点，如图、，
，
与、对应的点的距离为或，
构成了点、、、、共个点，
故的最大值为，
故答案为：.
四、解答题
15．（2021·江苏·苏州中学高一期中）若虚数满足的实部与虚部互为相反数且___________，求复数.在下列条件中任选一个填在横线上补全条件，并求解问题.①是实数；②
【答案】或．
【分析】
假设存在虚数，则设，，且，由已知条件列出方程组，求解即可得到，的值，则答案可求．
【详解】
解：若选①，设，则
满足是实数且的实部与虚部是相反数，
，
解得或．
或．
若选②，设，则，
因为，所以，即
的实部与虚部是相反数，
，
即
解得或．
或．
16．（2021·江苏·扬州中学高一阶段练习）（Ⅰ）在①，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：．
【答案】（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m的值；
（Ⅱ）由配方法结合复数的性质得出方程的解.
【详解】
（Ⅰ）①
，即，解得或
②z为纯虚数
，解得
③z为实数，，解得
（Ⅱ），
17．（2021·全国·高一课时练习）已知i是虚数单位，a，b∈R，z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，z1＝z2.
（1）求a，b的值；
（2）若z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥.
【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据复数相等的公式即可求解；
（2）根据复数模公式结合不等式即可求解．
【详解】
（1）由z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，由z1＝z2，
得，解得，
∴a＝2，b＝1；
（2）证明：∵z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，
∴|z+a+bi|＝|m﹣2+（1﹣m）i+2+i|＝
＝＝．
当且仅当m＝1时上式取等号，
∴|z+a+bi|．
18．（2021·全国·高一课时练习）已知，是复平面内的两个定点，点Z在线段的垂直平分线上，根据复数的几何意义，写出它们所对应的复数，，满足的关系式．
【答案】
【分析】
根据点Z在线段的垂直平分线上，得到，再复数的几何意义求解.
【详解】
解：因为点Z在线段的垂直平分线上，
即，
根据复数的几何意义得，
所以它们所对应的复数，，满足的关系式是.
19．（2021·全国·高一课时练习）在复数，，，，0，中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
【分析】
根据复数的分类，以及实部、虚部的定义即得解
【详解】
由复数的分类，对于复数
当时，为实数；
当时，为虚数；当时，为纯虚数.
故在上述复数中，0，为实数；，，，为虚数；为纯虚数
对于，实部为1，虚部为-2；
对于，实部为0，虚部为；
对于，实部为，虚部为；
对于，实部为，虚部为
20．（2021·全国·高一课时练习）求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)(2)或(3)或或或
【分析】
（1）（2）根据实部与虚部对应关系解方程即可；（3）令实部为0且虚部为0解方程即可.
(1)由可得，解得；
(2)由可得，解得或
(3)由可得，解得或，或，故答案为：或或或.
21．（2021·全国·高一课时练习）已知集合A＝{z||z|≤1}，
（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．
（2）若z∈A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z
（3）若B＝{z||z﹣ai|≤2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）﹣1≤a≤1.
【分析】
（1）直接利用复数的模，求解复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系，并在复平面内画出图形单位圆即可．
（2）若z∈A，求z取值时，画出图形，即可求出|z﹣（1+i）|的最大值、最小值．
（3）利用B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义，画出图象即可得到满足A⊆B时实数a的取值范围．
【详解】
解：（1）集合A＝{z||z|≤1}，z＝x+yi，∴x2+y2≤1，如下图所示：
（2）|z﹣（1+i）|的几何意义是圆上的点到（1，1）点的距离，如下图所示：
当z＝，|z﹣（1+i）|最小值＝．
当z＝，|z﹣（1+i）|最大值＝．
（3）B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义是，复平面内的点与（0，a）的距离小于等于2，A⊆B，
则满足如图所示的情况，即﹣1≤a≤1时，成立．
22．（2021·全国·高一专题练习）已知（i为虚数单位），求：
（1）；
（2）；
（3）类比，探讨（，为虚数）的性质，求的值.
【答案】（1）3；（2）-1；（3）
【解析】
（1）分别计算出，，展开即可求解；
（2）根据运算法则结合即可求解；
（3）结合（1）已经算出的结果分析规律即可得解.
【详解】
（1），
，，，，
.
（2）.
（3）由（1）可知，，
.
【点睛】
此题考查复数的综合应用，涉及基本运算，观察规律，其关键在于根据运算法则准确计算并类比推理.
23．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.
（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.
【答案】(1) m=3.(2) 或.
【详解】
试题分析：（1）由纯虚数，可知实部等于0，虚部不等于0，即．（2）对应点在第二象限，所以实部小于0，且对数的真数大于0，虚部大于0，即．
试题解析：（1）由是纯虚数得
即 所以m=3.
（2）根据题意得，
由此得，即或.
【点睛】
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．
24．（2021·全国·高一课时练习）对任意的复数，定义运算．则直线：上是否存在整点（、均为整数的点），使得复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
【答案】存在满足条件的整点、．
【分析】
写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．
【详解】
解：对应点坐标为，
由题意，得
，，
①当，时，得不成立；
②当，时，得，成立，
此时或，
故存在满足条件的整点、．